Normální rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Normální (nebo Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny.

Tímto rozdělením pravděpodobnosti se sice neřídí velké množství veličin, ale jeho význam spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních).

V souvislosti s normálním rozdělením jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb. Podle tohoto zákona se také řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin.

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti.

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry $μ$ a $σ 2$ , pro $-\infty<\mu<\infty$ a $σ 2 > 0$ , je pro $-\infty<x<\infty$ definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}$ .

Normální rozdělení se většinou značí $\operatorname{N}(\mu,\sigma^2)$ . Rozdělení $\operatorname{N}(0,1)$ bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota normálního rozdělení je

$\operatorname{E}(X) = \mu$

Normální rozdělení má rozptyl

σ 2 (X) = σ 2

Pro medián dostaneme

x 0,5 = μ

Koeficienty šikmosti i špičatosti normálního rozdělení jsou nulové, tzn.

γ 1 = 0

γ 2 = 0

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru

$m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}$

Pro přirozená čísla $k$ lze momenty psát jako

μ 2 k - 1 = 0

$\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}$

[editovat] Distribuční funkce

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(t-\mu)}^2}{2\sigma^2}} \;\mathrm{d}t$

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi.

[editovat] Vícerozměrné rozdělení

Máme-li $s$ -rozměrný náhodný vektor $X$ , jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

$f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt{{(2\pi)}^s {\left|\mathbf{C}\right|}}} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}$

pro $-\infty<x_i<\infty$ , $i = 1,2,..., s$ , kde $\mathbf{C}$ je symetrická, pozitivně definitní matice a $\mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T$ a $\mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T$ jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o $s$ -rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

[editovat] Charakteritiky vícerozměrného rozdělení

Momentovou vytvořující funkci lze vyjádřit jako

$m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}$

Z předchozího vztahu lze odvodit, že $\mathbf{\mu}$ představuje vektor středních hodnot a $\mathbf{C}$ kovarianční matici.

[editovat] Marginální rozdělení

Marginálním rozdělením veličiny $X i$ je jednorozměrné normální rozdělení $\operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2)$ , marginálním rozdělením veličin $X i, X j$ pro $i\neq j$ je dvourozměrné normální rozdělení, atd.

[editovat] Generování vícerozměrného rozdělení z jednorozměrného rozdělení

Vektor X náhodných hodnot podle vícerozměrného normálního rozdělení můžeme generovat podle následujícího vztahu.

$\bold X = \bold L \bold Z + \bold{\mu}$

L je dolní trojúhelníková matice získaná z kovarianční matice C užitím Choleského dekompozice.
Z je vektor náhodných hodnot, jehož složky odpovídají jednorozměrnému normálnímu rozdělení N(0,1).
μ je vektor středních hodnot.