Нормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

**Нормальное распределение**
Плотность вероятности Зелёная линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Параметры	$μ$ - коэффициент сдвига (вещественное число) $σ 2 > 0$ - коэффициент масштаба (вещественный)
Носитель	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
Функция распределения	$\Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \!$
Математическое ожидание	$μ$
Медиана	$μ$
Мода	$μ$
Дисперсия	$σ 2$
Коэффициент асимметрии	0
Коэффициент эксцесса	$0$
Информационная энтропия	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Производящая функция моментов	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Характеристическая функция	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Содержание

1 Характеристики распределения
2 Моделирование нормальных случайных величин
3 Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению
4 Курьёзы с нормальным распределением
5 См. также

[править] Характеристики распределения

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения $μ$ и масштаба $σ$ (или, что тоже самое, дисперсией $σ 2$ ) имеет следующий вид:

$p (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right).$

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

$F (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {(t - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right) dt.$

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при $\mu = 0,\ \sigma = 1$ ) часто обзначают как $\operatorname {\Phi} (\cdot)$ :

$\operatorname {\Phi} (x) = F (x; 0, 1) = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {t^2} 2 \right) dt.$

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через $\operatorname {\Phi} (\cdot)$ :

$F (x; \mu, \sigma) = \operatorname {\Phi} \left( \frac {x - \mu} \sigma \right).$

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

$f (t) = \operatorname {E} \{e ^ {i t \xi}\} = \exp \left( i \mu t - \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right),$

где $\xi \sim N (\mu, \sigma^2)$ — нормально распредёленная с параметрами $μ$ и $σ$ случайная величина.

Производящая функция моментов $ξ$ определена для всех вещественных t задаётся формулой

$M (t) = \operatorname {E} \{e ^ {t \xi}\} = \exp \left( \mu t + \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right).$

[править] Моделирование нормальных случайных величин

Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.

Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

[править] Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.

[править] Курьёзы с нормальным распределением

В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.

Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.

[править] См. также

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное