Theoretische Elektrotechnik

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Die Theorie der Felder und Wellen, auch Theoretische Elektrotechnik genannt, beschäftigt sich mit dem mathematisch-physikalischen Hintergrund von elektromagnetischen Feldern und Wellen aus der Elektrotechnik. Physikalisch werden elektromagnetische Felder und Wellen durch die Elektrodynamik beschrieben.

[Bearbeiten] Anwendungen

In vielen Bereichen der Elektrotechnik ist ein Verständnis beziehungsweise ein tieferer Einblick in die Theorie der Felder und Wellen erforderlich. In der Energietechnik sind es die Gebiete Hochspannungstechnik, Elektrische Maschinen und Energieversorgung die sich insbesondere mit Feldern auseinandersetzen müssen. Die Nachrichtentechniker brauchen insbesondere auf dem Gebiet der Hochfrequenztechnik Kenntnisse über die physikalischen Vorgänge von Wellen. Auch die Mikroelektronik braucht sie auf dem Gebiet der integrierten Schaltungen. Ebenso wichtig ist sie für elektrische RLC-Netzwerke.

[Bearbeiten] Die Elektrostatik

[Bearbeiten] Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im antiken Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde mit dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Bei Experimenten mit zum Beispiel dem Elektroskop oder Elektrometer konnte festgestellt werden, dass es zwei verschiedene Arten elektrischer Ladung gibt. Die eine Art nennt man positive und die andere negative Ladung. Des Weiteren wurde festgestellt, dass geladene Körper Kräfte aufeinander ausüben. Dabei stoßen sich gleichnamige Ladungen ab, während sich ungleichnamige Ladungen anziehen.

Viele Experimente zeigten, dass elektrische Kraftwirkungen räumlich nicht lokalisiert sind. M. Faraday gelang es erstmals, physikalische Felder zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge heranzuziehen. J. C. Maxwell gelang die mathematische Charakterisierung mit mathematisch skalaren und vektoriellen Feldern. Zunächst wurden diese physikalischen Felder mit kleinen Probekörpern ausgemessen. Die physikalischen Systeme wurden dabei "feldmäßig" gedeutet durch Energie-Impuls-Transporte vergleichbar mit Feder-Masse-Systemen im Gravitationsfeld.

$\mathrm{d}E=\underbrace{\vec v\cdot\mathrm{d}\vec p}_{\mathrm{Energie\ des\ Probek\ddot orpers}}+\underbrace{(-F)\cdot\mathrm{d}\vec r}_{\mathrm{Energie\ des\ physikalischen\ Feldes}}$

C. A. de Coulomb stellte mit der nach ihm benannten Drehwaage die Größen in folgenden Zusammenhang. Die Kraft nennt man Coulomb-Kraft. Durch sie wird die Fernwirkung der Ladung Q auf die Probeladung q beschrieben.

$\vec F(\vec r)=\gamma\cdot\frac{Q\cdot q}{r^2}\,\vec e_r$

Die Interpretation des elektrischen Feldes im Sinne des Nahwirkungsprinzips erreicht man durch Einführung eines neuen Feldes. Dem physikalischen elektrischen Feld wird ein weiteres vektorielles mathematisches Feld zugeordnet.

Satz von H. L. F. von Helmholtz: ein (mathematisches) vektorielles Feld (mit bestimmten Eigenschaften) wird i.w. durch das zugeordnete skalare Feld div(.) und das vektorielle Feld rot(.) eindeutig festgelegt.

Das legt nahe, dass $\vec D$ ein wirbelfreies Quellenfeld ist. Das Maß für die Quellen ist div(.) und das Maß für die Wirbel ist rot(.).

$\mathrm{div}(\vec D)(\vec r):=\rho(\vec r)\qquad \mathrm{rot}\vec D:=0$

[Bearbeiten] Poisson-Differentialgleichung

Die nach S. D. Poisson benannte Poisson-Differentialgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Ladungsdichteverteilung ρ und dem von ihr erzeugten elektrischen Potential $\varphi$ für den Fall, dass $\varepsilon$ über den Raum konstant ist.

$\triangle\varphi(\vec r)=-\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon}$

[Bearbeiten] Laplace-Differentialgleichung

Für den ladungsfreien Raum folgt aus der Poisson-Differentialgleichung die nach P. S. M. de Laplace benannte Laplace-Differentialgleichung.

$\triangle\varphi(\vec r)=0$

[Bearbeiten] Lösung der Differentialgleichungen

Die schwierigste Aufgabe für den Ingenieur ist es, diese Differentialgleichungen geeignet zu lösen. Wichtig ist, zu erkennen, welche geeigneten Vereinfachungen getroffen werden können, um ans Ziel zu gelangen.

Der Ingenieur bedient sich vielfach numerischer Verfahren.

[Bearbeiten] Eindeutigkeitssatz

(G. Wunsch, S. 122): "Die große praktische Bedeutung eines Eindeutigkeitssatzes liegt darin, dass es unwesentlich ist, welche Lösungsmethode man zur Lösung der Poissonschen Differentialgleichung verwendet.

Wenn es gelingt, auf irgendeine Weise (zum Beispiel durch ein "Probierverfahren" auf der Grundlage eines mathematisch nicht weiter legitimierten Lösungsansatzes) eine (partikuläre) Lösung einer Differentialgleichung zu finden, die die geforderten Randwerte annimmt, so ist damit die einzige Lösung des Problems gefunden. Es ist dann unwichtig, wie diese Lösung im Einzelnen ermittelt wurde."

[Bearbeiten] Weitere Verfahren zur Lösung der Potentialgleichungen

Separation der Variablen: der räumliche Bereich G und der Laplacesche Operator werden auf nicht-kartesische Koordinaten bezogen, so dass die Koordinatenflächen zu Randflächen von G werden (wenigstens approximativ).

Produktansatz: nach der Separation wird in diesen Koordination ein Ansatz der folgenden Form gemacht.

$\varphi(x,y,z)=\varphi_x(x)\cdot\varphi_y(y)\cdot\varphi_z(z)$

[Bearbeiten] Ausnutzung bekannter Lösungen der Poisson- beziehungsweise Laplace-Differentialgleichungen

Überlagerung von Elementarfeldern
Spiegelungsmethode
Kelvin Transformation und konforme Abbildungen
Funktionaltransformation

[Bearbeiten] Spezialfälle

[Bearbeiten] Multipolentwicklung

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

$\varphi(\vec r)=\frac{1}{4 \pi \,\varepsilon_{0}\, \varepsilon_{rel}}\iiint_V\frac{\rho(\vec{\tilde r})}{\Vert\vec r-\vec{\tilde r}\Vert}\;d\tilde{V}$

Taylorreihen Entwicklung von $\frac{1}{\Vert\vec r-\vec{\tilde r}\Vert}$ nach Potenzen von $\frac{1}{\Vert\vec r\Vert}$

$\varphi(\vec r) = \frac{1}{4 \pi \,\varepsilon_{0} \,\varepsilon_{rel}} \cdot \left(\underbrace{\frac{q}{\Vert\vec r\Vert}}_{\mathrm{Monopol}} + \underbrace{\frac{\vec r\cdot \vec p}{\Vert\vec r\Vert^3}}_{\mathrm{Dipol}} + \underbrace{\frac{1}{2} \sum_{i,j}Q_{ij} \frac{x_{i} x_{j}}{\Vert\vec r\Vert^5}}_{\mathrm{Quadrupol}} + \ldots\right)$

Hierin ist $q$ die Gesamtladung, $\vec p$ das Dipolmoment und $Q i j$ das Quadrupolmoment.

Es ist:

Die Gesamtladung (Monopolmoment):

$q = \iiint_V \rho(\vec{\tilde r}) \;d\tilde{V}$

Das Dipolmoment:

$\vec p = \iiint_V \rho(\vec{\tilde r}) \vec{\tilde r} \;d\tilde{V}$

Das Quadrupolmoment:

$Q_{ij} = \iiint_V \rho(\vec{\tilde r}) (3 \tilde{x_{i}} \tilde{x_{j}} - \delta_{ij} \tilde{r}^2) \;d\tilde{V}$

[Bearbeiten] Das Strömungsfeld

In einem drahtförmigen Leiter wird angenommen, dass die Stromdichte konstant ist. Das heißt, an jedem Punkt fließt gleich viel Strom bezogen auf die Fläche. Aufgrund komplizierteren geometrischer Anordnung können jedoch ungleichmäßige Stromverteilungen auftreten. Diese werden mit einem Vektorfeld, dem Strömungsfeld, beschrieben.

Das Strömungsfeld kann durch Stromlinien (Bahn eines Ladungsträgers) veranschaulicht werden. Stellen, an denen die Stromlinien nahe beieinander liegen, ist die Stromdichte groß. Stromlinien können sich nicht schneiden.

Jedem Punkt im Strömungsfeld wird ein Stromdichtevektor $\vec J$ zugeordnet:

Richtung von $\vec J$ : Strömungsrichtung

Betrag von $\vec J$ : $|\vec J| = \frac{ dI }{ dA }$

Die Ursache des Strömungsfeld ist ein Potentialunterschied. Dieser wird mit einem Potentialfeld (Skalarfeld) beschrieben. Punkte gleichen Potentials bilden Potentaillinien, die zur Veranschaulichung des Potentialfeldes dienen.

Ein Potentialunterschied übt eine Kraftwirkung auf die Ladungsträger aus. Diese wird mit der el. Feldstärke $\vec E$ beschrieben:

Richtung von $\vec E$ : senkrecht zur Potentiallinie und zeigt in Richtung der stärksten Potentialabnahme

Betrag von $\vec E$ : $|\vec J| = -\frac{ dV }{ dn }$

Ein Strömungsfeld lässt sich somit auch mit einem Vektorfeld von Feldstärkenvektoren beschreiben. In isotropen Stoffen sind die Stromdichte $\vec J$ und Feldstärke $\vec E$ gleichgerichtet. Sie sind über die spezifische Leitfähigkeit $σ$ oder den spezifischen Widerstand $ρ$ verknüpft:

$\vec J = \sigma \vec E = \frac {1}{\rho} \vec E$

Diese Beziehung ist das Ohmsche Gesetz in Elementarform.

Der Strom und die Spannung lassen sich im Strömungsfeld über folgende Beziehungen berechnen:

$I = \int_A \vec J \cdot dA$

im homogenen Feld: $I = J A\$

$U_{ab} = \int_a^b \vec E \cdot ds$

im homogenen Feld: $U = E l\$

[Bearbeiten] Magnetische Felder in statischer Näherung

[Bearbeiten] Verallgemeinerung Biot-Savart-Laplace Gesetz

Das Biot-Savart-Laplace-Gesetz (siehe: Biot-Savart-Gesetz) beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ladungsstromdichteverteilung $\vec J$ und dem von ihr erzeugten Magnetfeld $\vec B$ :

$\vec B(\vec r)=\frac{\mu}{4\cdot\pi}\iiint_V\frac{\vec J(\vec{\tilde r})\times(\vec r-\vec{\tilde r})}{\Vert\vec r-\vec{\tilde r}\Vert^3}\;d\tilde{V}$

Hilfsgröße $\vec A$

$\triangle\vec A=-\mu\cdot\vec J(\vec r)$

[Bearbeiten] Coulomb-Eichung

$\mbox{div}\;\vec A=0$

aber:

$\vec B=\mbox{rot}\;\vec A$

[Bearbeiten] Das Induktionsgesetz

$U = -L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$

$U = -N\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$

[Bearbeiten] Die vollständigen Maxwellschen Gleichungen

Mit den vollständigen Maxwellschen Gleichungen lassen sich alle Felder und Wellen der Theoretischen Elektrotechnik beschreiben. Sie lassen sich mit dem Satz von Gauß und Stokes sowohl in differentieller als auch in integraler Schreibweise ausdrücken.

[Bearbeiten] Lorenz-Eichung

Benannt nach dem dänischen Physiker Ludvig Lorenz.

$\mbox{div}\;\vec A+\mu\cdot\varepsilon\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0$

[Bearbeiten] Poynting-Vektor

Der Poynting-Vektor zeigt in die Richtung des Energieflusses einer elektromagnetischen Welle. Er ist nach John Henry Poynting benannt. Siehe auch: Poynting-Robertson-Effekt.

$\vec S=\vec E\times\vec H$

[Bearbeiten] Materialgleichungen

Die Beziehungen zwischen $\vec D$ und $\vec E\qquad\vec B$ und $\vec H\qquad\vec J$ und $\vec E$ werden durch die Materialgleichungen der Elektrodynamik beschrieben.

[Bearbeiten] Literatur

G. Wunsch, H.-G. Schulz: Elektromagnetische Felder. VEB Verlag Technik, Berlin 1996, ISBN 3-341-01155-2
K. Simonyi: "Theoretische Elektrotechnik". J.A. Barth Verlag, Leipzig 1993
K. Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: "Theoretische Elektrotechnik". Springer, Berlin Heidelberg New York, 2006 ISBN 3-540-29290-X
P. Leuchtmann: Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie. Pearson Studium, München 2005, ISBN 3-8273-7144-9

[Bearbeiten] Weblinks

http://www.tet.uni-hannover.de/education/vorlesungen/tet/tet2.htm - Materialien zur Vorlesung "Theoretische Elektrotechnik"
http://www.hsu-hh.de/tet/ - Theoretische Elektrotechnik und Numerische Feldberechnung an der Helmut Schmidt Universität - Universität der Bundeswehr Hamburg

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/h/e/Theoretische_Elektrotechnik_5c5f.html“

Kategorie: Theoretische Elektrotechnik