Dirichletscher Einheitensatz

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Der dirichletsche Einheitensatz (nach P. G. L. Dirichlet) ist eines der ersten Ergebnisse der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz beschreibt die Struktur der Einheitengruppe des Ganzheitsringes eines algebraischen Zahlkörpers.

[Bearbeiten] Formulierung

Es sei $K$ ein algebraischer Zahlkörper und $\mathcal{O}_K$ sein Ganzheitsring. Dann ist die Einheitengruppe $\mathcal{O}_K^\times$ endlich erzeugt, und der Rang ihres freien Anteils ist gleich

r + s - 1;

dabei ist $r$ die Anzahl der Einbettungen $K\to\mathbb R$ und $s$ die Anzahl der Paare komplex-konjugierter Einbettungen $K\to\mathbb C$ (die keine reellen Einbettungen sind). Ist die Erweiterung $K/\mathbb{Q}$ galoissch, so ist $r$ oder $s$ gleich $0$ .

Der Torsionsanteil der Einheitengruppe ist die Gruppe der Einheitswurzeln in $K$ .

[Bearbeiten] Beweisskizze in einem Spezialfall

Es sei $K=\mathbb Q(\sqrt2)\subset\mathbb R$ (wir wählen also bereits eine reelle Einbettung); dann ist $\mathcal{O}_K=\mathbb Z[\sqrt2]$ , und die Einheitengruppe

$\mathcal{O}_K^\times=\{x+y\sqrt2\mid x,y\in\mathbb Z,\quad x^2-2y^2=\pm1\}.$

(Die Gleichung $x^2-dy^2=\pm1$ trägt den Namen pellsche Gleichung.)

In diesem Fall ist $r = 2$ und $s = 0$ , der dirichletsche Einheitensatz sagt also voraus, dass der Rang von $\mathcal{O}_K^\times$ gleich 1 ist.

Da beispielsweise $3+2\sqrt2$ eine Einheit ist, die keine Einheitswurzel ist, muss der Rang mindestens 1 sein. Wäre der Rang größer, so könnte $\mathcal{O}_K^\times\cap\mathbb R^\times_{>0}$ keine diskrete Untergruppe von $\mathbb R^\times_{>0}$ sein, und man weiß, dass eine Untergruppe von $\mathbb R^\times_{>0}$ entweder diskret oder dicht ist. Es gäbe also eine Einheit, die "ungefähr" 1 ist. Nun sind aber $x+y\sqrt2$ und $x-y\sqrt2$ zwei Zahlen, deren Produkt $\pm1$ ist, ist also die eine von ihnen ungefähr 1, so ist die andere ungefähr $\pm1$ . Andererseits unterscheiden sie sich um die Zahl $2y\sqrt2$ , die "wesentlich" größer als der Abstand zwischen $1$ und $\pm1$ ist, falls $y\ne0$ ist. Ist aber $y = 0$ , so ist offenbar $x=\pm1$ , wir erhalten also nur die Einheitswurzeln $\pm1\in \mathcal{O}_K^\times$ .