Eukleides
Wikipedia
Eukleides Aleksandrialainen (kreik. Εὐκλείδης, s. 365 eaa.-330 eaa. — k. noin 300 eaa.-275 eaa.) oli kreikkalainen matemaatikko, joka kirjoitti muun muassa matematiikan oppikirjan Stoikheia (Alkeet, latinaksi Elementa). Eukleideen elämästä ei kovin paljon tiedetä, joskin eräät aikalaiset hänet mainitsevat. Hänen tiedetään vaikuttaneen Aleksandrian kirjastossa.
Eukleidesta pidetään "geometrian isänä". Pääteoksessaan hän yhdisteli ja järjesteli aiempien matemaatikkojen töiden tuloksia ja teki myös omaa tutkimusta. Hän oli perehtynyt myös lukuteoriaan. Hänen teoksensa ennakoi aksiomaattisen ynnä ristiriidattoman matematiikan tuloa. Eukleides otaksui, että geometristen kuvioiden ja kokonaislukujen ominaisuudet on johdettavissa muutamista yleispätevistä aksioomista. Eukleideen kirja oli tyylillisesti varsin selkeä, ja sitä käytettiin oppikirjana yli kaksituhatta vuotta. Hänen teoriansa eksaktius kesti yhtä pitkään, kunnes David Hilbert vuonna 1899 teki lopulliseksi katsottavat modernin aikakauden vaatimat täsmennykset euklidisen geometrian teoriaan.
Eukleideen viides otaksuma, joka tunnetaan paremmin nimellä paralleeliaksiooma, erottaa perinteisen euklidisen geometrian epäeuklidisesta geometriasta. Paralleeliaksiooman johtamista Eukleideen neljästä muusta aksioomasta yritettiin vuosisatojen ajan, kunnes 1800-luvulla paralleeliaksiooma todistettiin riippumattomaksi ja epäeuklidiset geometriat mahdollisiksi.
Eukleideen esittämistä todistuksista erityisen kuuluisia ovat alkulukujen äärettömyyden ja 2:n neliöjuuren irrationaalisuuden todistukset, joita yhä käytetään elegantin ja oivaltavan todistuksen malliesimerkkeinä. Seuraavassa hänen alkulukujen äärettömyyden todistuksensa (lainattu G. H. Hardyn kirjasta Matemaatikon apologia):
Alkuluvut ovat luvut
(A) = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...,
joita ei voida jakaa itseään pienempiin tekijöihin. Alkuluvut ovat kaikkien lukujen kertolaskulla tuottamisen rakennuspalikoita: 558 = 2 * 3 * 3 * 31. Jokainen luku, joka ei ole alkuluku, on jaollinen ainakin yhdellä alkuluvulla. Nyt siis on todistettava, että edellä esitetty sarja (A) ei pääty. Oletetaan ensin, että sarja päättyy alkulukuun P, jolloin P on suurin alkuluku. Tutkitaan tämän oletuksen perusteella lukua Q, jonka kaava
Q = (2 * 3 * 5 * 7 * ... * P) + 1
määrittelee. On selvää, että luku Q ei ole jaollinen luvuilla 2, 3, 5, ..., P, sillä niillä jaettaessa saadaan aina jakojäännökseksi yksi (1). Mutta jos Q ei ole itse alkuluku, sen on oltava jaollinen jollakin alkuluvulla ja siksi on olemassa alkuluku (joka voi olla Q itse), joka on suurempi kuin sarjassa (A) olevat. Tämä taas on ristiriidassa oletuksemme kanssa, joka sanoi, että luku P on suurin alkuluku. Tästä seuraa että oletus oli väärä.
