Ganze Funktion
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In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion, die in der gesamten komplexen Zahlenebene 
holomorph (also analytisch) ist. Typische Beispiele ganzer Funktionen sind Polynome oder die Exponentialfunktion, sowie Summen, Produkte und Verknüpfungen davon. Ebenso sind die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen ganz (aber sie sind ja auch nur Varianten der Exponentialfunktion).
Jede ganze Funktion kann als eine überall konvergierende Potenzreihe dargestellt werden. Weder der Logarithmus noch die Wurzelfunktion ist ganz.
Eine ganze Funktion kann eine Singularität, insbesondere sogar eine wesentliche Singularität im komplexen Punkt im Unendlichen (und nur da) besitzen.
Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist der Satz von Liouville: Ist eine ganze Funktion beschränkt, so muss sie konstant sein, womit man recht elegant den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. Der kleine Satz von Picard ist eine beträchtliche Verschärfung des Satzes von Liouville: Eine nichtkonstante ganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an, bis auf möglicherweise einen. Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise die Exponentialfunktion, die nie den Wert 0 annimmt.
[Bearbeiten] Literatur
- Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004
- R. Remmert: Funktionentheorie I. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992
