Hyperbelfunktion

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sinh, cosh and tanh

csch, sech and coth

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

Sie sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Definition über die Exponentialfunktion
- 1.2 geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel
2 Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen
3 Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen
- 3.1 sinh
- 3.2 cosh
4 Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen
5 Alternative Namen
6 Abgeleitete Funktionen
7 Umrechnungstabelle
8 Umkehrfunktionen

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Definition über die Exponentialfunktion

$\sinh(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}$

$\cosh(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}$

[Bearbeiten] geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel

Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel

x 2 - y 2 = 1

im Punkt

(cosh a,sinh a)

, wobei

a

die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der

x

-Achse, und der Hyperbel ist.

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Funktionen eine Hyperbel $x 2 - y 2 = 1$ beschreiben. Die Funktionen stellen eine Verbindung zwischen der Fläche a, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der x-Achse und der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist sinh(a) die (positive) y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(a) die dazugehörige x-Koordinate wenn die Hyperbel und die Geraden die Fläche a einschließen. tanh(a) ist die y-Koordinate der Geraden bei x=1. Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

[Bearbeiten] Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen

Graph der reellen Hyperbelfunktionen

Für alle reelle Zahlen $r$ sind auch $sinh(r)$ und $cosh(r)$ reell.

Die reelle Funktion $sinh$ ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.

Die reelle Funktion $cosh$ ist für Werte $< 0$ streng monoton fallend,

für Werte $> 0$ streng monoton steigend.

[Bearbeiten] Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen

[Bearbeiten] sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

$A := \{ z \,\vert - \pi / 2 < \operatorname{Im}\,z < \pi / 2 \}$

$B := \{ z \,\vert \operatorname{Re}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Im}\,z = \pm 1 \}$

Dann bildet die komplexe Funktion $sinh$ den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

[Bearbeiten] cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

$A := \{ z \,\vert 0 < \operatorname{Im}\,z < \pi \}$

$B := \{ z \,\vert \operatorname{Im}\,z \ne 0 \vee \operatorname{Re}\,z = \pm 1 \}$

Dann bildet die komplexe Funktion $cosh$ den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

[Bearbeiten] Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen

[Bearbeiten] Symmetrie und Periodizität

Für alle komplexen Zahlen $z$ gilt:

$sinh(z) = - sinh( - z)$ , d.h. sinh ist eine ungerade Funktion.
$cosh(z) = cosh( - z)$ , d.h. cosh ist eine gerade Funktion.

Es liegt keine Periodizität vor.

[Bearbeiten] Additionstheoreme

Für alle komplexen Zahlen $z 1$ und $z 2$ gilt:

$\sinh(z_1 + z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) + \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)$
$\sinh(z_1 - z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) - \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)$
$\cosh(z_1 + z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) + \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)$
$\cosh(z_1 - z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) - \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)$

[Bearbeiten] Zusammenhänge

$\,{\cosh}^2 (z) - {\sinh}^2 (z) = 1$

[Bearbeiten] Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm sinh}(x)={\rm cosh} (x)$ .

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm cosh}(x)={\rm sinh} (x)$ .

Die Ableitung des Tangens Hyperbolicus lautet:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm tanh}(x)={\rm sech}^2 (x)$ .

[Bearbeiten] Alternative Namen

Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
Für $sinh$ sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
Für $cosh$ sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

[Bearbeiten] Abgeleitete Funktionen

Tangens Hyperbolicus $\tanh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$
Kotangens Hyperbolicus $\coth(x) := \frac{1}{\tanh(x)} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$
Sekans Hyperbolicus $\operatorname{sech}(x) := \frac{1}{\cosh(x)}$
Kosekans Hyperbolicus $\operatorname{csch}(x) := \frac{1}{\sinh(x)}$

[Bearbeiten] Umrechnungstabelle

Funktion	$sinh$	$cosh$	$tanh$	$coth$
$sinh(x) =$	$\,\sinh(x)\,$	$\sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1}$	$\frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}$	$\frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}$
$cosh(x) =$	$\,\sqrt{1+\sinh^2(x)}$	$\,\cosh(x)$	$\, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}$	$\, \frac{\left\|\coth(x)\right\|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}}$
$tanh(x) =$	$\,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}$	$\,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)}$	$\,\tanh(x)$	$\,\frac{1}{\coth(x)}$
$coth(x) =$	$\,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)}$	$\,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}$	$\,\frac{1}{\tanh(x)}$	$\,\coth(x)$
$\operatorname{sech}(x)=$	$\,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}$	$\,\frac{1}{\cosh(x)}$	$\,\sqrt{1 - \tanh^2(x)}$	$\,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left\|\coth(x)\right\|}$
$\operatorname{csch}(x)=$	$\, \frac{1}{\sinh(x)}$	$\, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}$	$\, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)}$	$\, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1}$

Funktion	$\operatorname{sech}$	$\operatorname{csch}$
$sinh(x) =$	$\sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)}$	$\frac{1}{\operatorname{csch}(x)}$
$cosh(x) =$	$\, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)}$	$\, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left\|\operatorname{csch}(x)\right\|}$
$tanh(x) =$	$\,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}$	$\,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}$
$coth(x) =$	$\,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}$	$\,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}$
$\operatorname{sech}(x)=$	$\, \operatorname{sech}(x)$	$\,\frac{\left\|\operatorname{csch}(x)\right\|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}}$
$\operatorname{csch}(x)=$	$\, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}}$	$\, \operatorname{csch}(x)$