Grundrechenart
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Nach dem Zählen sind die vier Grundrechenarten der nächste Schritt zum Erlernen des Rechnens. Sie werden bereits in der Grundschule gelehrt. Die Grundrechenarten bestehen aus folgenden einfachen Rechenarten, sogenannten mathematischen Operationen:
| Beispiel | Lateinische Bezeichnung | Deutsche Bezeichnung | 1. Operand | Name des Symbols | 2. Operand | Bezeichnung des Ergebnisses |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 + 1 = 2 | Addition | zusammenzählen | Summand | plus | Summand | Summe |
| 11 − 2 = 9 | Subtraktion | abziehen | Minuend | minus | Subtrahend | Differenz |
 |
Multiplikation | mal nehmen | Faktor | mal | Faktor | Produkt |
 |
Division | teilen | Dividend | durch | Divisor | Quotient |
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Bedeutung der Grundrechenarten
Die Beherrschung der Grundrechenarten gehört zu den während der Schulzeit von jedem Schüler zu erwerbenden Grundfertigkeiten Lesen, Schreiben und Rechnen, die in den beiden Hauptfächern Deutsch und Mathematik gelehrt werden.
Die Grundrechenarten werden im Mathematik-Unterricht der Grundschule während der ersten vier Schuljahre behandelt und eingeübt, auch in Form von Textaufgaben (Sachaufgaben). Sie werden beim Übergang in eine weiterführende Schule (Hauptschule, Realschule, Gymnasium) weitgehend vorausgesetzt und sind normalerweise Gegenstand von Aufnahmeprüfungen.
Einfache Aufgaben aller vier Grundrechenarten sollten im Kopf (Kopfrechnen) gelöst werden können.
Die vier Grundrechenarten werden in der Theorie vom mathematischen Körper auf eine formelle Grundlage gestellt.
[Bearbeiten] Grundrechenarten in der Informatik
Die Schulmathematik geht mit der Definition der Herkunft von mathematischen Objekten meist sehr leger um. Oft wird nicht angegeben, aus welcher Menge Zahlen stammen. Beispielsweise ist die Zahl 3 Element der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen (mit Imaginärteil 0). Der Term 3 / 5 ist mathematisch nicht wohldefiniert bis angegeben wird aus welcher Menge 3 und 5 stammen und welche Operation bei "/" durchgeführt werden soll. Stammen z. B. 3 und 5 aus der Menge der natürlichen Zahlen ist der Term nur dann sinnvoll, wenn "/" die Division ohne Rest darstellt.
In der Informatik werden die Grundrechenarten durch so genannte Operatoren in Programmiersprachen realisiert. Diese werden durch einen Compiler in Maschinenbefehle übersetzt. Die Ausführung von Rechenoperationen in der Datenverarbeitung erzwingt eine Typisierung von Daten. Der mit Abstand am häufigsten verwendete Datentyp ist dabei eine "ganze Zahl" repräsentiert durch 31 Bit und ein Vorzeichenbit (in C int, in Pascal integer). Für diesen Datentyp realisiert der Operator "/" in den meisten Programmiersprachen dann auch die Division ohne Rest. Manche Programmiersprachen vermeiden diese "Unklarheit" und führen ein eigenes Schlüsselwort ein, so z.B. Pascal das Schlüsselwort DIV. Alle Prozessoren realisieren die Grundrechenarten plus die Modulo-Operation für ganze Zahlen (int) als direkte Hardwarefunktion.
Um reelle Zahlen darzustellen, wird oft ein Fließkomma-Datentyp (in C float, in Pascal real) verwendet (hier gibt es übrigens auch eine Modulo-Operation). Die Grundrechenarten werden für diesen Datentyp wiederum als Operatoren in Hochsprachen angeboten. Für viele Programmiersprachen existiert aber keine direkte Abbildung der Grundrechenarten für komplexe Zahlen und Matrizen als Operator. Einige Programmiersprachen erlauben es aber, dass Operatorsymbole für Datentypen überladen werden (z.B. C++).
Die Restbildung wird in der Schulmathematik nicht als eigene Operation aufgefasst. Man schreibt 7 / 3 = 2 Rest 1. Der binäre Operator "/" liefert hier als Ergebnis ein geordnetes Paar zweier Zahlen und bildet damit eine Funktion mit zwei Eingabewerten und einem Paar von Rückgabewerten, in der Mathematik wird er oft durch zwei Funktionen ersetzt.
In vielen Programmiersprachen wird zusätzlich zum Divisionsoperator der Modulo-Operator definiert (C: %, Pascal: mod).
Oftmals wird auch eine Funktion definiert und implementiert, die effizient beide Operationen ausführt:
void DivMod(int a, b:int; int &e, &r) { //... }
Viele Prozessoren bieten diese Operation als direkten Befehl der Hardware an.
Eine grundsätzlich andere Möglichkeit zur Lösung der Division im Bereich der ganzen Zahlen ist die Rundung.
[Bearbeiten] Grundrechenarten in der Algebra
Streng algebraisch betrachtet gibt es keine Subtraktion oder Division als eigenständige mathematische Operation!
Vielmehr werden in der Algebra Gruppen so definiert, dass für jedes Element X der zugrundeliegenden Menge bzgl. der Operation "+" ein inverses Element (bezeichnet durch "-X") existieren muss, für das X+(-X)=0 gilt, wobei 0 das neutrale Element der Gruppe ist (0 + X = X für alle X). Sind also A und B Elemente der Menge der ganzen Zahlen, dann stellt die folgende Gleichung tatsächlich eine Additionsoperation dar:
A - B = A + (-B)
Bsp: "3 - 5" = 3 + (-5) = 3 + (-(3+2)) = 3 + (-3 + (-2)) = (3 + (-3)) + (-2) = 0 + (-2) = -2.
Analog geht man für die Definition der Multiplikation und Division vor (s. Körper (Algebra)). Bei Vektorräumen wird das Skalarprodukt eingeführt. Dies ist aber nicht mit der Multiplikation auf Körpern zu vergleichen, da es auf zwei Elementen eines Vektorraums ausgeführt wird und diese auf ein Element des zugrundeliegenden Körpers abbildet.
Insbesondere folgt daraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen keine Gruppe bzgl. der Addition bilden (Beweis: für das Element 1 existiert keine inverses Element). Daher lassen sich natürliche Zahlen nicht "subtrahieren".
In der Grundschulausbildung wird trotzdem der Begriff der "Subtraktion" gelehrt, ohne dass negative Zahlen eingeführt werden. Dies ist mathematisch fragwürdig, da sich dabei z.B. die Gleichung 3 - 5 (wobei sowohl 3 als auch 5 als natürliche Zahlen interpretiert werden) nicht lösen lässt. Pädagogisch hat sich diese Vorgehensweise aber wohl bewährt.
Als einfaches Beispiel für die Notwendigkeit einer allgemeingültigen algebraischen Definition kann die Gruppe basierend auf der Menge der Zahlen (0, 1, 2) bzgl. der Addition modulo 3 verwendet werden. Durch einfaches Nachrechnen können Sie feststellen, dass "-1" dort 2 ist!
(1 + "-1") mod 3 = (1 + 2) mod 3 = 3 mod 3 = 0 q.e.d.
Es muss strikt zwischen dem Gruppenoperator "Addition" und den Rechenverfahren "Addition" und "Subtraktion" unterschieden werden!
