Isogonal konjugierte Punkte
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Die Definition isogonal konjugierter Punkte in Bezug auf ein Dreieck ergibt sich aus dem folgenden Satz:
Es sei ABC ein Dreieck und P ein Punkt, der nicht auf den Dreiecksseiten liegt. Wir spiegeln die Geraden AP, BP und CP an den Winkelhalbierenden der Dreieckswinkel α, β bzw. γ. Dann schneiden sich die Spiegelbilder in einem neuen Punkt.
Dieser neue Punkt heißt der zu P isogonal konjugierte Punkt bezüglich des Dreiecks ABC (die Klausel "bezüglich des Dreiecks ABC" lässt man meist weg, wenn keine Verwechslung zu befürchten ist, also wenn nur ein Dreieck im Spiel ist). Bezeichnen wir den zu P isogonal konjugierten Punkt mit Q, dann ist der zu Q isogonal konjugierte Punkt wiederum der Punkt P. Daher kann man die Punkte P und Q als zueinander isogonal konjugierte Punkte bezeichnen.
Dabei ist anzumerken, dass der Begriff "Punkt" hier auf die projektive Ebene auszuweiten ist. Es kann nämlich vorkommen, dass die Spiegelbilder der Geraden AP, BP und CP an den Winkelhalbierenden der Dreieckswinkel α, β bzw. γ zueinander parallel sind; dann sagt man, dass sie sich in einem unendlich fernen Punkt oder kurz Fernpunkt schneiden. Der Punkt Q ist also in diesem Fall ein Fernpunkt. (Man kann zeigen, dass dieser Fall - dass Q ein Fernpunkt ist - genau dann eintritt, wenn der Punkt P auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt.)
Es gibt genau vier Punkte, die bezüglich des Dreiecks ABC zu sich selbst isogonal konjugiert sind: der Inkreismittelpunkt und die drei Ankreismittelpunkte. Ansonsten ist der Umkreismittelpunkt isogonal konjugiert zum Höhenschnittpunkt, und der Schwerpunkt isogonal konjugiert zum Lemoinepunkt. Schließlich sind der erste und der zweite Brocard-Punkt zueinander isogonal konjugiert.
Hat ein Punkt die trilinearen Koordinaten x:y:z, so sind die trilinearen Koordinaten des isogonal konjugierten Punktes gegeben durch 
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