Prädikat (Logik)

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Inhaltsverzeichnis 1 Das Prädikat in der syllogistischen Logik 1.1 Analytische und Synthetische Urteile 2 Das Prädikat in der mathematischen Logik 3 Prädikation

[Bearbeiten] Das Prädikat in der syllogistischen Logik

In der traditionellen Logik (Syllogistik) wird bei der Analyse von Aussagen (traditionell kategorische Urteile genannt) unterschieden zwischen dem, worüber etwas ausgesagt wird (dem Subjekt), und dem, das darüber ausgesagt wird (dem Prädikat). Das Subjekt ist der Gegenstand, über den etwas ausgesagt wird, und Prädikat das, was ihm in der Aussage zugeschrieben wird, zum Beispiel eine Eigenschaft. Der Teil der Aussage, der auf den Gegenstand verweist, ist der Subjektsterm und der Teil der Aussage, die dem Subjekt das Prädikat zuschreibt, der Prädikatsterm. Faktisch wird aber (anders als in diesem Artikel) in der Regel „Subjekt“ auch im Sinne von „Subjektsterm“ und „Prädikat“ im Sinne von „Prädikatsterm“ verwendet. Der Akt der Zuschreibung selbst ist die Prädikation.

Beispiele von einfachen Aussagen sind:

1. Sokrates ist ein Mensch.
2. Der Hund meines Nachbarn schläft.
3. Sokrates liebt es, bei langen Weinabenden über Philosophie zu diskutieren.

In den Beispielen 1 und 3 ist der Mensch Sokrates das Subjekt, der Ausdruck „Sokrates“ (der erste Teil der Aussagen 1 und 3) der Subjektsterm. Im Beispiel 2 ist der Hund meines Nachbarn (das Tier, das mich jeden morgen anbellt) das Subjekt und der Ausdruck „Der Hund meines Nachbarn“ der Subjektsterm.

Beispiel 2 zeigt, dass grammatisches Subjekt („Der Hund“) und logisches Subjekt (genauer: Subjektsterm) nicht übereinstimmen müssen. (Grammatisch ist „meines Nachbarn“ konstitutives Attribut zum Subjekt.)

Die Prädikate in den Beispielsätzen sind die Eigenschaften ein Mensch zu sein, zu schlafen und es zu lieben, bei langen Weinabenden über Philosophie zu diskutieren. Die Prädikatsterme sind „Mensch“, „schläft“ und „liebt es, bei langen Weinabenden über Philosophie zu diskutieren“.

Das erste und letzte Beispiel zeigen, dass das logische Prädikat (genauer: der Prädikatsterm) nicht mit dem grammatischen Prädikat („ist“ bzw. „liebt“) übereinstimmen muss: Grammatisch ist „ein Mensch“ ein Gleichsetzungsnominativ, „bei langen Weinabenden über Philosophie zu diskutieren“ ein Akkusativobjekt.)

Als Teile einer einfachen Aussage sind Prädikatsterm und Subjektsterm unvollständig und selbst keine Aussagen. Sie können nicht für sich wahr oder falsch sein.

Im Beispiel 1 ist der Prädikatsterm aus zwei Teilen zusammengesetzt: Der Kopula „ist“ und dem Prädikatsnomen „der Mensch“. In der Syllogistik hat es sich eingebürgert auch die Prädikate in Beispielen 2 und 3 in dieser Form zu schreiben, weil sie nur dann im Rahmen des formalen, syllogistischen Schließens unmittelbar verwendbar sind. Also etwa:

• Der Hund meines Nachbarn ist ein Schlafender.
• Sokrates ist ein Liebender des Diskutierens über Philosophie bei langen Weinabenden.

Das dritte Beispiel zeigt den bereits in der Tradition diskutierten Nachteil der Analyse nach Subjekt und Prädikat: Relationen, d. h. Beziehungen zwischen zwei oder mehreren Gegenständen, lassen sich nicht adäquat analysieren; einer der Gegenstände, zwischen denen die Relation besteht, muss (gegebenenfalls willkürlich) als Subjekt herausgegriffen werden, und die übrigen Gegenstände müssen mit der Beziehung zu einem komplexen, nicht weiter zerlegbaren Prädikat zusammengefasst werden.

So wird in der modernen, überwiegend formalen Logik die starre Einteilung von Aussagen Subjekt und Prädikat aufgegeben und wird der Prädikatsbegriff dergestalt erweitert, dass auch Relationen als Prädikate verstanden werden. In der Aussage „Sokrates ist ein Schüler von Platon“ wird dann die Beziehung des „Schülerseins von“ als Prädikatsterm „_₁ ist Schüler von _₂“ analysiert; die Ausdrücke „_₁“ und „_₂“ markieren dabei die Stellen, an denen die Individuen benannt werden, über die diese Beziehung ausgesagt werden soll – im Beispiel sind das die Individuen Sokrates und Platon.

Im Beispiel handelt es sich um eine Beziehung zwischen zwei Gegenständen, weshalb das Prädikat (bzw. der Prädikatsterm) zweistellig genannt wird. Abhängig von der Zahl der Gegenstände zwischen denen eine Beziehung ausgesagt wird, spricht man auch von drei-, vier-, usw. stelligen Prädikaten, oder allgemeiner von n- oder unbestimmt mehrstelligen.

[Bearbeiten] Analytische und Synthetische Urteile

Immanuel Kant unterteilte die Urteile in analytische und synthetische. Bei den Analytischen liegt das Prädikat im Subjekt, z.B.:

• Der Hund ist ein Tier.
• (Kant): Alle Körper sind ausgedehnt.

Das Prädikat (ist ein Tier; sind ausgedehnt) ergibt sich aus der Zergliederung des Subjekts (der Hund; alle Körper).

Das Synthetische Urteil fügt dem Subjekt jedoch etwas hinzu was es nicht enthält, sondern nur aus der Erfahrung gezogen werden kann, z.B.:

• Der Hund schläft.
• (Kant): Alle Körper sind schwer.

Dass der Hund schläft geht nicht aus dem Begriff des Hundes hervor. Das Prädikat (schläft; sind schwer) liegt also außerhalb des Subjekts (Hund; alle Körper).

Kants Betrachtungen sind noch schärfer und genauer als das Beispiel des Hundes. Siehe auch Synthetisches Urteil a priori

[Bearbeiten] Das Prädikat in der mathematischen Logik

Anders als die traditionelle Syllogistik untersucht die moderne mathematische Logik nicht das logische Schließen mit Hilfe normalsprachiger Sätze, sondern das Schließen in genau beschriebenen formalen Sprachen beziehungsweise Systemen. Für Prädikatenkalküle gehören zu den beschriebenen Ausdrücken der Sprache ein- und mehrstellige Prädikatensymbole, auch Prädikatenkonstanten, Prädikatbuchstaben oder Prädikatoren genannt, oft geschrieben als Großbuchstaben, gefolgt von den Argumenten des Prädikats oder von Leerstellen als Platzhalter für solche Argumente. Oft werden die Argumente in Klammern gesetzt und durch Beistriche voneinander getrennt. Zum Beispiel würde ein einstelliges Prädikat mit dem Prädikatensymbol „P“ als „P_“ oder als „P(_)“ geschrieben, ein zweistelliges Prädikat mit dem Prädikatensymbol „S“ würde als „S_₁_₂“ oder als „S(_₁, _₂)“ geschrieben. Die einstelligen Prädikatensymbole entsprechen den Prädikatstermen der syllogistischen Logik.

In der Interpretation einer formalen Sprache eines Prädikatenkalküls wird jedem einstelligen Prädikatensymbol die Menge der Individuen (Gegenstände, Entitäten im weitesten Sinn) zugeordnet, auf die das betroffene Prädikat zutrifft; jedem zweistelligen Prädikatensymbol die Menge geordneter Paare von Individuen, auf die das Prädikat zutrifft; und allgemein jedem n-stelligen Prädikatensymbol die Menge aller n-Tupel (in der Mathematik auch als Relation bezeichnet) von Individuen, auf die das jeweilige Prädikat zutrifft. Die Gesamtheit aller Gegenstände, von denen in der betrachteten Interpretation die Rede ist, wird Diskursuniversum (engl. universe of discourse oder domain) genannt.

Der Begriff Prädikat wird formal als eine Funktion in die Menge der Wahrheitswerte definiert: Ein n-stelliges Prädikat ist eine n-stellige Funktion aus dem n-fachen kartesischen Produkt des Diskursuniversums D – das heißt aus der Menge aller n-Tupel von Individuen – in die Menge der Wahrheitswerte. Somit kann jedem n-stelligen Prädikatensymbol P(_₁, _₂,... __n) eine solche Funktion – ein Prädikat – P(x₁, x₂,... x_n) zugeordnet werden, sodass P(x₁, x₂,... x_n) =wahr  genau dann, wenn das n-Tupel (x₁, x₂,... x_n) ein Element der dem Prädikatensymbol zugeordneten Menge von n-Tupeln ist, mit anderen Worten:

Für alle x₁, x₂,... x_n ∈ D gilt:

(x₁, x₂,... x_n) ∈ P ⇔ P(x₁, x₂,... x_n) = Wahr

Aus diesem Grund werden die Aussagen (x₁, x₂,... x_n) ∈ P und P(x₁, x₂,... x_n) auch gleichbedeutend verwendet.

Als einfaches Beispiel eine Dreiecksgeschichte. Das universe of discourse U besteht aus Ulrich, Heiner und Anna:

U = {Ulrich, Heiner, Anna}

Wir haben zwei Prädikatssymbole "F( )" (einstellig) und "L( , )" (zweistellig). Wir ordnen das Prädikatensymbol "F( )" der einstelligen Relation (d.h. einer Teilmenge von U) {Anna} zu. Das Prädikatensymbol "L( , )" der zweistelligen Relation {(Anna, Heiner), (Heiner, Anna), (Ulrich, Anna)}. Unsere Prädikate sind F(x) und L(x₁, x₂). F(x) ist genau dann wahr, wenn x = Anna. In unserer Interpretation gilt also: F(Anna).

[Bearbeiten] Prädikation

Hauptartikel: Prädikation

Die Sprachhandlung, bei der einem Gegenstand eine Eigenschaft zugesprochen wird, wird Prädikation genannt. Von Kuno Lorenz, Paul Lorenzen und Wilhelm Kamlah wurde die Prädikation sprachphilosophisch und handlungstheoretisch im Rahmen der Logischen Propädeutik des frühen Erlanger Konstruktivismus präzisiert. Bekannt ist die Zeigehandlung von Kamlah: Dies ist ein Fagott.