Reynolds-Zahl

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Die Reynolds-Zahl (Formelzeichen: $R e$ ) ist eine nach dem Physiker Osborne Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl. Sie wird in der Strömungslehre verwendet und stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar (bzw. das Verhältnis von spezifischer Impulskonvektion zu Impulsdiffusion im System). Für eine ideale Flüssigkeit ohne Viskosität ist das Verhältnis unendlich.

$Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\eta} = \frac{v \cdot L}{\nu}$ mit: $\eta = \nu \cdot \rho$

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

$ρ$ - charakteristische Dichte des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten kg / m³).
$v$ - Betrag einer für den Anwendungsfall charakteristischen Geschwindigkeit (bspw. in SI-Einheiten Meter/Sekunde),
$L$ - charakteristische Länge des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten m),
$η$ - charakteristische dynamische Viskosität des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten Kilogramm/(s·m)),
$ν$ - charakteristische kinematische Viskosität des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten m² / s),

Überschreitet die Reynolds-Zahl einen (problemabhängigen) kritischen Wert ( $R e krit$ ), wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleinste Störungen. Entsprechend ist für $R e > R e krit$ mit einem Umschlag (Transition) von laminarer in turbulente Strömung zu rechnen.

In der Magnetohydrodynamik wird ebenfalls eine Reynolds-Zahl definiert: die magnetische Reynolds-Zahl.

[Bearbeiten] Anwendungen

Geschwindigkeiten und Reynolds-Zahlen einiger Flugobjekte

Das Diagramm rechts vergleicht Geschwindigkeiten und zugehörige Reynolds-Zahlen einiger Flugobjekte. Beispielsweise sind die Reynolds-Zahlen von Luftschiffen höher als die von Flugzeugen. Sie fahren zwar langsamer, sind aber deutlich größer.

Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Größe innerhalb der Ähnlichkeitstheorie. Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen, so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein ähnliches Strömungsfeld zu erhalten. Entsprechend muss bei einem um einen Faktor f verkleinerten Modell das Verhältnis $v / ν$ um den Faktor f erhöht werden. Da die Maximalgeschwindigkeit begrenzt ist, senkt man in Kryo-Windkanälen zusätzlich die Viskosität der Luft durch Kühlung und erhöht dadurch gleichzeitig die Luftdichte. Auf diese Weise sind Reynolds-Zahlen bis zu 50·10⁶ in Probenkammern von zwei Metern Durchmesser erreichbar. Dieses Vorgehen ist allerdings sehr teuer, da hier meist mit flüssigem Stickstoff der Kanal mitsamt Modell abgekühlt werden muss. Beim Abkühlen muss darauf geachtet werden, dass sich keine Vereisungen bilden.

Staubkörner sind sehr klein. Wenn sie durch die Luft fallen, haben sie eine ähnliche niedrige Reynolds-Zahl wie eine Stahlkugel, die in ein Glas Honig fällt. Sie bewegt sich laminar (d.h. ohne Wirbelbildung) durch das Fluid. Ein Körper, der sich durch Wasser bewegt, hat bei gleicher Geschwindigkeit eine ca 15-fach höhere Reynoldszahl, als wenn er sich durch Luft bewegt. Zwar ist die dynamische Viskosität von Wasser ca. 50 Mal höher als die von Luft, jedoch ist auch die Dichte um das 800-fache höher, so dass am Ende eine höhere Reynoldszahl resultiert:

Substanz   rel. dynamische Viskosität   rel. Dichte  rel. Dichte / Viskosität
Wasser     1                            1            1 (1)
Luft       0,02                         0,0013       0,0013/0,02= 0,065 (2)    
 
(1)/(2) = 15

Mikroorganismen schwimmen bei Reynolds Zahlen 10^-5 bis 10^-2, so dass Intertialkräfte vernachlässigbar sind. Ein Beispiel: Würden die Geißeln des Bakteriums E. coli zu schlagen aufhören, würde dieser Schwimmer bereits nach weniger als einem Atomdurchmesser zum Stehen kommen.

[Bearbeiten] Beispiele

Rohrströmung

Bei Rohrströmungen werden als charakteristische Größen der Innendurchmesser L = d, der Betrag der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit $v = v m$ und die Viskosität des Fluids $ν$ verwendet.

$Re = \frac{v_{\rm m} \cdot d}{\nu}$ .

Es gilt dann: $Re_{\rm krit} \approx 2320$

Gerinneströmung

Bei Gerinneströmungen werden als charakteristische Größen die Fließtiefe L = h, der Betrag der mittleren Fließgeschwindigkeit über den durchflossenen Querschnitt $v = v m$ und die Viskosität des Fluids $ν$ verwendet.

$Re = \frac{v_{\rm m} \cdot h}{\nu}$

Beurteilung einer turbulenten Strömung

Um den Turbulenzgrad zu charakterisieren, kann die Reynolds-Zahl auch mit turbulenzbezogenen Größen gebildet werden (turbulente Reynolds-Zahl $R e t$ ). Als charakteristische Größen werden dann bspw. die Varianz der Geschwindigkeit $v = v'$ und das integrale Längenmaß L = l der Strömung verwendet. Hinzu kommt die (molekulare) Viskosität des Fluids $ν$ .

$Re_{\rm t} = \frac{v' \cdot l}{\nu}$