Rundung

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Rundung ist eine arithmetische Operation, bei der eine Zahl in Stellenschreibweise (meist eine Dezimalzahl) ersetzt wird durch eine Zahl mit einer geringeren Anzahl signifikanter (bedeutungstragender) Stellen. Dabei wird der Unterschied zwischen ursprünglicher und gerundeter Zahl (der Rundungsfehler) so gering wie möglich gehalten.

Zweck einer Rundung ist,

Platz für die Darstellung zu sparen, insbesondere bei Dezimalbrüchen und Gleitkommazahlen, oder
die Anzahl der Ziffern der Genauigkeit eines Rechenergebnisses anzupassen (siehe Fehlerrechnung).

Meist verringert man die Anzahl der Dezimalstellen und damit die Anzahl der dargestellten Ziffern. Doch werden auch große Ganzzahlen gerundet. Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit die errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant gekennzeichnet.

Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von Aufrunden, wird sie verkleinert, von Abrunden. Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig. – Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von Abschneiden.

[Bearbeiten] Kaufmännisches Runden

Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle (im Beispiel hierunter die dritte Nachkommastelle) nicht größer als eine 4, wird abgerundet. Anderenfalls wird aufgerundet. Die folgenden Nachkommastellen werden nicht berücksichtigt.

aus 13,3749... € wird 13,37 €
aus 13,3750... € wird 13,38 €

Negative Zahlen werden nach ihrem Betrag gerundet, bei einer 5 also weg von Null:

aus −13,3749... € wird −13,37 €
aus −13,3750... € wird −13,38 €

Ist die Ausgangszahl jedoch ihrerseits das Ergebnis einer Rundung, so muss für den Grenzfall, dass alle bekannten Stellen nach der neuen Rundungsstelle Nullen sind, wenn möglich auf die exakte Zahl zurückgegriffen werden (etwa bei mathematischen Konstanten):

exakte Zahl bekannt: 13,374999747…, gerundete Ausgangszahl: 13,3750
→ gerundete Zahl = 13,37
exakte Zahl unbekannt, gerundete Ausgangszahl: 13,3750
→ gerundete Zahl = 13,38

In wissenschaftlichen Arbeiten und Logarithmentafeln wird manchmal kenntlich gemacht, ob die letzte Ziffer durch Auf- oder Abrunden erhalten wurde. Eine Ziffer, die durch Aufrunden erhalten wurde, wird mit einem Strich unter (oder auch oberhalb) der Ziffer kenntlich gemacht, eine Ziffer, die durch das Runden nicht verändert wurde (die Zahl wurde also abgerundet), wird mit einem Punkt über der Ziffer gekennzeichnet.

Beispiele:

$3,4124928...$ wird zu $3{,}412{\underline{5}}$ . Beim Runden auf drei Stellen nach dem Komma ist daher abzurunden.
$2,6245241...$ wird zu $2{,}624{\dot{5}}$ . Beim Runden auf drei Stellen nach dem Komma ist daher aufzurunden.

Sind keine weiteren Stellen bekannt, so wird die Ausgangszahl als exakt angenommen. Im Fall von Währungen wird das Ergebnis, ungeachtet des rein mathematischen Ergebnisses, auf fünf Stellen nach der Haupteinheit kaufmännisch gerundet und dann als exakt angesehen. So wurde der Umrechnungsfaktor von DM nach €,

1 € ≡ 1,95583 DM,

als exakt festgelegt.

[Bearbeiten] Unverzerrte Rundung

Kaufmännisches und unverzerrtes Runden unterscheiden sich nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.

Das kaufmännische Runden erzeugt kleine statistische Fehler, da das Aufrunden um 0,5 vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie; das kann Statistiken geringfügig verzerren. Außerdem ist das Verhalten bei positiven und negativen Zahlen unterschiedlich, wenn die zu rundende Ziffer eine 5 ist.

Es gibt ein Verfahren, das diese Probleme vermeidet, die unverzerrte Rundung (englisch round to even). Es rundet von der genauen Mitte zwischen zwei Ziffern immer zur nächsten geraden Zahl auf oder ab. Ansonsten entspricht es dem kaufmännischen Verfahren:

aus 2,33 wird 2,3
aus 2,35 wird 2,4
aus 2,45 (exakt) wird 2,4
aus 2,4500001 wird 2,5
aus 2,47 wird 2,5
aus 2,53 wird 2,5
aus 2,55 wird 2,6

aus −2,35 wird −2,4
aus −2,45 (exakt) wird −2,4
aus −2,4500001 wird −2,5
aus −2,46 wird −2,5
aus −2,449 wird −2,5

Diese Art der Rundung ist bei Logarithmentafeln und im Vermessungswesen üblich.

[Bearbeiten] Abrunden

Die Gaußklammer, auch Gauß-, Ganzzahl- oder Abrundungs-Funktion genannt, bildet jede reelle Zahl auf die größte ganze Zahl ab, die nicht größer ist als die reelle Zahl.

Folgerungen:

Die Gaußfunktion ändert nicht das Vorzeichen, kann aber eine positive Zahl auf null abbilden.
Für positive Zahlen in Stellenschreibweise ist die Anwendung der Gaußfunktion identisch mit dem Abschneiden der Nachkommastellen.
Für jede negative nicht ganze Zahl ist der Betrag des Funktionswerts größer als der Betrag der Eingangszahl.