Satz von Bolzano-Weierstraß
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Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist ein Satz der Analysis. Er lautet:
- Erste Fassung:
- Jede beschränkte Zahlenfolge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge.
- Zweite Fassung:
- Jede beschränkte Zahlenfolge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) einen Häufungswert. Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen größten und einen kleinsten Häufungswert.
Der Satz ist benannt nach den Mathematikern Bernard Bolzano und Karl Weierstraß. Beim Beweis des Satzes geht man in der Regel wie folgt vor:
- Beginne mit dem Intervall
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, das alle Folgeglieder enthält. Wähle a1 als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge. - Halbiere das Intervall (der Mittelpunkt des Intervalls wird dabei beliebig einem der beiden Teilintervalle zugeschlagen); mindestens eine Hälfte muss unendlich viele Folgeglieder enthalten, diese Hälfte werde nun mit I bezeichnet. Wähle als nächstes Glied der Teilfolge das erste Element an, das in I liegt und dessen Index größer ist als der des zuvor gewählten Elements.
- Fahre mit dem vorigen Punkt unendlich lange fort. Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner, so dass die Teilfolge gegen den einzigen Punkt konvergiert, der in allen Intervallen liegt. (Dieser existiert aufgrund des Intervallschachtelungsaxioms der reellen Zahlen.)
Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ein Maximum bzw. ein Minimum annimmt.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist eng verwandt mit dem Satz von Heine-Borel. Eine Verallgemeinerung beider Sätze auf topologische Räume ist folgender: Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat.
