Satz von Heine-Borel
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Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, von den Mathematikern Eduard Heine und Émile Borel aufgestellt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.
Er zeigt die Äquivalenz zweier Definitionen der Kompaktheit.
- Für eine Teilmenge M des Rn (den metrischen Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
- M ist beschränkt und abgeschlossen.
- Jede offene Überdeckung von M enthält eine endliche Teilüberdeckung.
Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R anwenden.
Dies gilt auch für andere, aber nicht für alle metrischen Räume. Ein Gegenbeispiel ist R∞. In diesem metrischen Raum gilt für die abgeschlossene Kugel mit dem Radius 1 R∞ Aussage 1, aber nicht Aussage 2. Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, die vollständig und totalbeschränkt sind.
[Bearbeiten] Weblinks
- Heine Borel (Video das einen Beweis vom Satz von Heine-Borel illustriert.)
