Vikipedio:Projekto matematiko/Serio de Taylor

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Serio de Taylor
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Kiel la grado de la Serio de Taylor (altiĝas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas), ĝi (manieroj, proksimiĝoj) la (ĝusta, ĝustigi, korekti) funkcio. Ĉi tiu bildo montras sin(x) kaj Taylor proksimumaj kalkuladoj, (polinomoj, polinomas) de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 kaj 13.

En matematiko, la Serio de Taylor de malfinie diferencialebla (reala, reela) (aŭ komplekso) funkcio f difinis sur (malfermi, malfermita) intervalo (a − r, a + r) estas la potencoserio

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.$

Ĉi tie, n! estas la faktorialo de n kaj f ⁽ⁿ⁾(a) signifas la n(th, -a) derivaĵo de f je la punkto a. Se a = 0, la serio estas ankaŭ (nomita, vokis) _Maclaurin_ serio. Tial, _Maclaurin_ serio estas simple speciala tipo de Serio de Taylor.

Enhavo

1 Historio
2 Propraĵoj
3 Serio de Taylor por kelkaj (variabloj, variablas)
4 Listo de Serio de Taylor de iuj komunaj funkcioj
5 Kalkulo de Serio de Taylor
6 Vidu ankaŭ jenon:
7 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Historio

La Serio de Taylor, potencoserio, kaj malfinia serio (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) de funkcioj estis unua esplorita en Barato per _Madhava_ en la 14-a jarcento. Li fundamenti nombro de specialaj okazoj de la Serio de Taylor, inkluzivanta la Serio de Taylor por la trigonometriaj funkcioj de sinuso, kosinuso, tangento kaj _arctangent_, kaj la (sekundo, dua)-(mendi, ordo) Serio de Taylor proksimumaj kalkuladoj de la sinuso kaj kosinusaj funkcioj, kiu li etendis al la tria-(mendi, ordo) Serio de Taylor proksimuma kalkulado de la sinusa funkcio. Li ankaŭ esplorita la potencoserio de la radiuso, diametro, cirkonferenco, angulo θ, π kaj π/4, laŭ kun (racionala, racionalo) proksimumaj kalkuladoj de π, kaj malfinio (ĉenfrakcioj, ĉenaj frakcioj). Liaj studentoj kaj (adeptoj, adeptas) en la Keralaa Lernejo plui elvolvita lia (laboroj, laboras) kun diversa serio (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) kaj (racionala, racionalo) proksimumaj kalkuladoj ĝis la 16-a jarcento.

En la 17-a jarcento, Marmeladoj _Gregory_ ankaŭ laboris en ĉi tiu areo kaj (publikigita, publikigis) kelkaj _Maclaurin_ serio. Ĝi estis ne ĝis 1715 tamen (tiu, ke, kiu) ĝenerala maniero por konstruanta ĉi tiu serio por ĉiuj funkcioj por kiuj ili ekzisti estita fine provizita per Rojo Taylor, post de kiu la serio estas nun nomis.

[redaktu] Propraĵoj

Se ĉi tiu serio konverĝas por ĉiu x en la intervalo (a − r, a + r) kaj la (sumo, sumi) estas egala al f(x), tiam la funkcio f(x) estas (nomita, vokis) analitiko. Al kontroli ĉu la serio konverĝas al f(x), unu normale uzas taksas por la resto (termo, membro, flanko, termino) de Teoremo de Taylor. Funkcio estas analitiko se kaj nur se ĝi povas esti (prezentita, prezentis) kiel potencoserio; la koeficientoj en (tiu, ke, kiu) potencoserio estas tiam bezone la aĵoj donita en la pli supre Serio de Taylor formulo.

La graveco de tia potencoseria prezento estas almenaŭ _fourfold_. Unua, diferencialado kaj integralado de potencoserio povas esti (aperita, plenumita) (termo, membro, flanko, termino) per (termo, membro, flanko, termino) kaj estas de ĉi tie aparte facila. (Sekundo, Dua), analitika funkcio povas esti unike etendita al holomorfa funkcio difinis sur (malfermi, malfermita) disko en la kompleksa ebeno, kiu (konstruas, faras) la tuta maŝinaro de kompleksa analitiko havebla. Tria, la (senpintigis) serio povas kutimi komputi funkcio (valoroj, valoras) proksimume (ofte per _recasting_ la polinomo enen la Ĉebiŝev-a (formo, formi) kaj pritaksanta ĝi kun la _Clenshaw_ algoritmo). Kvara, algebra (operacioj, operacias) povas ofte esti farita multa pli _readily_ sur la potencoseria prezento; ekzemple la plej simpla pruvo de Eŭlera formulo uzas la Serio de Taylor (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) por sinuso, kosinuso, kaj (eksponentaj funkcioj, eksponencialoj). Ĉi tiu rezulto estas de fundamenta graveco en tiaj kampoj kiel (fourier-a analizo, analizo de Fourier).

La funkcio <forta style="color:#803300">e^−1/_x²_</forta> estas ne analitiko: la Serio de Taylor estas 0, kvankam la funkcio estas ne.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) estas (ekzemploj, ekzemplas) de malfinie ofte diferencialeblaj funkcioj f(x) kies Serio de Taylor konverĝi, sed estas ne egala al f(x). Ekzemple, por la funkcio difinis popeca per (diranta, dirante) (tiu, ke, kiu) f(x) = e^−1/x² se x ≠ 0 kaj f(0) = 0, ĉiuj derivaĵoj estas nulo je x = 0, (do, tiel) la Serio de Taylor de f(x) estas nulo, kaj ĝia konverĝ(o)radiuso estas malfinio, (ebena, para, eĉ) kvankam la funkcio plej definitive estas ne nulo. Ĉi tiu aparta patologio ne aflikti komplekso-valoraj funkcioj de komplekso (variablo, varianta). (Rimarki, Avizo) (tiu, ke, kiu) e^−1/z² ne (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) 0 kiel z (manieroj, proksimiĝoj) 0 laŭ la imaginara akso.

Iuj funkcioj ne povas esti skribita kiel Serio de Taylor ĉar ili havi specialaĵo; en ĉi tiuj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), unu povas ofte ankoraŭ (efektivigi, atingi) seria elvolvaĵo se unu permesas ankaŭ negativa (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de la (variablo, varianta) x; vidi _Laurent_ serio. Ekzemple, f(x) = e^−1/x² povas esti skribita kiel _Laurent_ serio.

La _Parker_-_Sochacki_ teoremo estas ĵusa antaŭenigi en trovanta Serio de Taylor kiu estas solvaĵoj al diferencialaj ekvacioj. Ĉi tiu teoremo estas elvolvaĵo sur la _Picard_ ripeto.

[redaktu] Serio de Taylor por kelkaj (variabloj, variablas)

La Serio de Taylor (majo, povas) ankaŭ esti ĝeneraligita al funkcioj de pli ol unu (variablo, varianta) kun

$T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

(Sekundo, Dua)-(mendi, ordo) Serio de Taylor elvolvaĵo de skalaro-valora funkcio de pli ol unu (variablo, varianta) povas esti kompakte skribita kiel

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$

kie $\nabla f(\mathbf{a})$ estas la gradiento kaj $\nabla^2 f(\mathbf{a})$ estas la Matrico de Hessian. Aplikanta la _multi_-indeksa skribmaniero la Serio de Taylor por kelkaj (variabloj, variablas) iĝas

$T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}$

en plena analogio al la sola (variablo, varianta) (kesto, okazo).

[redaktu] Listo de Serio de Taylor de iuj komunaj funkcioj

Kelkaj grava Taylor/_Maclaurin_ serio (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) sekvi. Ĉiuj ĉi tiuj (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) estas ankaŭ valida por komplekso (argumentoj, argumentas) x.

Eksponenta funkcio kaj natura logaritmo:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all } x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

Geometria serio:

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

Duterma teoremo:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha$

Trigonometriaj funkcioj:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

Hiperbolaj funkcioj:

$\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tanh\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

_Lambert_'s W funkcio:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}$

La nombroj B_k (aperanta, ŝajnanta, aspektanta) en la sumado (elvolvaĵoj, elvolvaĵas) de (tani, sunbrunigi)(x) kaj _tanh_(x) estas la Nombro de Bernoullas. La duterma elvolvaĵo uzas dutermaj koeficientoj. La E_k en la elvolvaĵo de _sec_(x) estas Eŭleraj nombroj.

[redaktu] Kalkulo de Serio de Taylor

Kelkaj manieroj ekzisti por la kalkulo de Serio de Taylor de granda nombro de funkcioj. Unu povas provi al uzi la Serio de Taylor kiel-estas kaj ĝeneraligi la (formo, formi) de la koeficientoj, aŭ unu povas uzi (regoj, regas) kiel anstataŭo, multipliko aŭ divido, aldono aŭ subtraho de norma Serio de Taylor al konstrui la Serio de Taylor de funkcio, per virto de Serio de Taylor estante potencoserio. En iu (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), unu povas ankaŭ derivi la Serio de Taylor per multfoje aplikanta poparta integralado.

Ekzemple, konsideri la funkcio

$f(x)=\ln{(1+\cos{x})} \,$

por kiu ni bezona Serio de Taylor pri 0.

Ni havi:

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - {x^2\over 2}+{x^3 \over 3} - {x^4 \over 4} + \cdots \quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 -{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}- \cdots \quad\mbox{ for all } x$

Ni povas simple (anstataŭa, anstataŭigi) la (sekundo, dua) serio enen la unua. Farante (do, tiel),

$\left(1 -{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots\right)-{1\over 2}\left(1 -{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots\right)^2 +{1\over 3}\left(1 -{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots\right)^3-{1\over 4}\left(1 -{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots\right)^4+\cdots$

Elvolvanta per uzanta _multinomial_ koeficientoj donas la bezonaĵa Serio de Taylor.

Aŭ, ekzemple, konsideri

$g(x)={\mathrm{e}^x \over \sin{x}}$

Ni havi

$\mathrm{e}^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \cdots$

$\sin{x} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots$

Tiam,

${\mathrm{e}^x \over \sin{x}} = { 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \cdots \over x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots}$

Alpreni la potencoserio estas

$c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots = {1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \cdots \over x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots}$

Tiam

$=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\left(x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots\right) = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \cdots$

$=c_0x - {c_0 \over 3!}x^3 + {c_0\over 5!}x^5 + c_1x^2 - {c_1 \over 3!}x^4 + {c_1\over 5!}x^6 + c_2 x^3 - {c_2 \over 3!} x^5 + {c_2 \over 5!} x^7 + c_3x^4-{c_3\over 3!}x^6 + \cdots$

$= 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \cdots$

$=c_0x + c_1x^2 + c_2 x^3 - {c_0 \over 3!}x^3 + c_3x^4- {c_1 \over 3!}x^4 + \cdots$

$=c_0x + c_1x^2 + \left(c_2 - {c_0 \over 3!}\right)x^3 + \left(c_3-{c_1 \over 3!}\right)x^4 + \cdots = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + \cdots$

(Komparanta, Kontrastiganta) koeficienta rendimento la Serio de Taylor por la funkcio.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

_Laurent_ serio
Teoremo de Taylor
Holomorfaj funkcioj estas analitikaj — pruvo (tiu, ke, kiu) holomorfa funkcio povas esti esprimita kiel Taylor potencoserio
Neŭtona (dividita, dividis) diferenca interpolo * _Madhava_ de _Sangamagrama_ (kreditis kun la unua uzi de "Taylor" serio)