Serie de Taylor

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En matemáticas, la serie de Taylor de una función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

Aquí, n! es el factorial n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

[editar] Series de Taylor notables

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural:

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ para todo } x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Serie geométrica:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Teorema del binomio:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ y cualquier } \alpha \mbox{ complejo }$

Función trigonométrica:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Función hiperbólica:

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Función W de Lambert:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{1}{e}$

Los números B_k que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los E_k del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

[editar] Dimensiones Múltiples

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una variable con la siguiente fórmula:

$\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

Por ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es::

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,$

$+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right).$

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así ..

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$