Taylorin sarja

Wikipedia

Taylorin sarja tarkoittaa matematiikassa avoimella välillä ]a-r,a+r[ jatkuvasti derivoituvaa reaali- tai kompleksiarvoista funktiota f, joka on määritelty kaavalla

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.$

Erityisesti tilanteessa jossa $a = 0$ puhutaan Maclaurinin sarjasta. Sen yleinen muoto on siis

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}x^n$

Useamman muuttujan funktiolle Taylorin sarjaksi saadaan

$f(x_1,\ldots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}.$

Taylorin sarja on yksinkertainen erikoistapaus potenssisarjasta. Funktion likiarvon laskemiseen on usein käytännöllistä käyttää Taylorin sarjaa, sillä sarjakehitelmästä saatavan approksimaation virhe on aina tarkasti tunnettu.

Jos funktiota kuvaava Taylorin sarja suppenee jollakin välillä ]a-r,a+r[, funktio on analyyttinen kyseisellä välillä.

[muokkaa] Eräiden funktioiden sarjakehitelmiä

Monille funktioille on mahdollista kirjoittaa Taylorin (tai oikeammin Maclaurinin) sarja, joka kuvaa funktiota sitä tarkemmin, mitä enemmän termejä sarjakehitelmästä huomioidaan. Erityisesti jos summaus suoritetaan nollasta äärettömään, sarja vastaa täsmälleen annettua funktiota niillä x:n arvoilla, joilla se ylipäänsä suppenee. Eräitä tärkeitä sarjoja ovat (! tarkoittaa kertomaa)

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots$