Circunferencia

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En matemática, una circunferencia (del latín circunferentia) es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro^[1]. La ecuación --en coordenadas cartesianas-- de una circunferencia centrada en el punto (h, k) y de radio r, es:

$(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,$

Desarrollando la ecuación, se tiene:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,$

siendo $h = \frac{-D}{2}$ ; $k = \frac{-E}{2}$ y $r = \sqrt{h^2 + k^2-F}$

La longitud de una circunferencia es:

$L = 2 \cdot \pi \cdot r$

donde $r$ = radio y $π$ (el número pi) es el cociente entre el diámetro y la longitud de la circunferencia.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6]. Circunferencia, en otros idiomas (como en inglés ^[7]) y en matemática universal se utiliza para designar la longitud de la frontera de un disco (matemática) de radio finito.

Tabla de contenidos

1 Ecuaciones de la circunferencia
2 Elementos de la circunferencia
3 Área del círculo delimitado por una circunferencia
4 Otras propiedades
5 Referencias
6 Véase también

[editar] Ecuaciones de la circunferencia

[editar] Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio c consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = c^2\,$ .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

$x^2 + y^2 = c^2.\,$

La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a $1$ es llamada circunferencia unidad.

Si en vez del centro y el radio son dados dos puntos $(x 1, y 1),(x 2, y 2)$ extremos de un diámetro, la circunferencia queda descrita por la ecuación

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,$

[editar] Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como $(r,θ)$

$r=c.\,$

Cuando el centro no está en el origen sino en el punto $(s,α)$ y el radio es $c$ , la ecuación se convierte en

$r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2$

[editar] Ecuación en coordenadas paramétricas

También es posible describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como

$x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]$

y con funciones racionales como

$x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty$

[editar] Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varias rectas y puntos especiales en la circunferencia. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.

Una línea que atraviesa la circunferencia, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca a la circunferencia en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con la circunferencia se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

[editar] Área del círculo delimitado por una circunferencia

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

$A = \pi \cdot r^2$

Esta última fórmula se debe a que, sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema y el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: $A = \frac{p \cdot a}{2}$ . Y aproximando la circunferencia como el límite de polígonos regulares, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto:

$A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2$

[editar] Otras propiedades

El teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada con uno de sus lados siendo el diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto.

Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia se refiere como circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos

(x 1, y 1),(x 2, y 2),(x 3, y 3)

, la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:

$\det\begin{bmatrix} x & y & x^2 + y^2 & 1 \\ x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0.$

Una circunferencia es una sección cónica, con excentricidad cero.

[editar] Referencias

↑ DRAE
↑ "Introducción a la geometría" Eugenio Roanes Macías. Anaya editorial. 1ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
↑ "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica, Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
↑ "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús M. Ruíz. Anaya, 1ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
↑ "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1
↑ "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9
↑ en:circumference