Conjetura de los números primos gemelos
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Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 29 y 31.
Conforme se van considerando primos más grandes la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos va disminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entre números de tamaños enormes.
La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar.
Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.
La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de los números primos.
En 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.
[editar] Resultados parciales
En 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota el número primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearse una constante c < 0,25.
En 1966, Jing-run Chen mostró que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratar la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.
En 2004 R. F. Arenstorf de la Vanderbilt University ha presentado una posible demostración de la conjetura en 38 páginas utilizando métodos de la teoría de números analítica clásica, aunque el lema 8 de dicha publicación es incorrecto.
[editar] Conjetura de Hardy-Littlewood
También existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura de Hardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los números primos. Denótese como π2(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase la constante de los números primos C2 como
(p > 3)
La conjetura dice que
en el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito.
Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) suponiendo que 1/ln(t) describe la función de densidad de la distribución de los números primos, una suposición sugerida por el teorema de los números primos. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura de Hardy-Littlewood es ciertamente impresionante.
