Ideal de un anillo
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En teoría de anillos, una rama del Álgebra abstracta, un ideal de un anillo R es un subconjunto I de R que es cerrado bajo combinaciones R-lineales, de una forma que luego precisaremos. El concepto de un Ideal de un orden que es definido en Teoría del orden se deriva de esta noción y es discutido en el correspondiente artículo.
[editar] Definiciones
Para permitir el uso de anillos no conmutativos, debemos distinguir dos casos: ideales por la izquierda (l-ideales) e ideales por la derecha (r-ideales).
Un subconjunto I del anillo R es un l-ideal de R si
- 1: el elemento cero 0 de R pertenece a I
- 2: para todo a,b en I, se tiene que a + b está en I, y que
- 3L: para todo a en I y r en R, se tiene que ra está en I
Un subconjunto I de R es un r-ideal de R si, además de las propiedades 1 y 2 de arriba, satisface
- 3R: para todo a en I y r en R, se tiene que ar está en I
Un subconjunto que sea a la vez l- y r-ideal (esto es, que satisfaga las propiedades 1, 2, 3L, y 3R) se dice ideal por ambos lados de R o ideal bilátero, o meramente ideal.
Si el anillo R es conmutativo, los tres tipos de ideales son el mismo, no así en anillos no conmutativos.
