Ideál (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek je o algebraickém pojmu. Pokud chcete znát jiné významy, podívejte se na rozcestník.

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Obsah

1 Definice
2 Příklady ideálů
3 Operace s ideály
4 Vlastnosti
5 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Množina $\emptyset \neq I \subseteq R$ , kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

pro každé $a,b \in I$ je také $a-b \in I$
pro každé $a \in I$ a každé $r \in R$ je také $r\cdot a \in I$ resp. $a\cdot r \in I$

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

[editovat] Příklady ideálů

V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
Každá podmnožina tvaru $(a)=\{a\cdot r;r\in R\}$ je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).

[editovat] Operace s ideály

průnik ideálů I,J je ideál $I\cap J$ , který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
součet ideálů I,J je ideál $\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}$ , který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
součin ideálů I,J je ideál $I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}$

[editovat] Vlastnosti

Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li $I \neq R$ a pro každý ideál J, že $I\subseteq J$ , je I = J nebo J = R.
Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé $a,b \in R$ takové, že $a\cdot b \in I$ , je buďto $a \in I$ nebo $b \in I$ .

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.