Ideale (matematica)

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In matematica, e più precisamente in algebra, un ideale è un sottoinsieme di un anello chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto con qualsiasi elemento dell'anello.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Operazioni sugli ideali
4 Esempi
5 Voci correlate

[modifica] Definizione

Sia A un anello con le operazioni + e *. Un sottoinsieme I di A è un ideale destro se:

(I,+) è un sottogruppo del gruppo abeliano (A,+)
per ogni i in I ed ogni a in A l'elemento i a è sempre in I

e ideale sinistro se

(I,+) è un sottogruppo di (A,+)
per ogni i in I ed ogni a in A l'elemento a i è sempre in I

Un ideale che sia contemporaneamente destro e sinistro si dice ideale bilatero. Nel caso particolare in cui A è un anello commutativo le nozioni date coincidono e parliamo di semplicemente di ideale. Per semplicità diamo le definizioni seguenti solo in un anello commutativo.

Un ideale I è un ideale proprio se è un sottoinsieme proprio di A, cioè non coincide con A. Un ideale proprio è un ideale massimale se non è contenuto strettamente in nessun altro ideale proprio. Un ideale proprio è un ideale primo se per ogni ab in I, almeno uno dei due elementi a o b appartiene ad I.

Se ogni elemento x di I può essere scritto come

$x = \sum_{k=0}^{n} a_{k} i_{k}$

dove i_k è un elemento di I e {a_k: k=1,...,n} è un sottoinsieme finito fissato di A, diciamo che I è finitamente generato e si scriverà I=(a₁,..., a_n). Se I è generato da un solo elemento diciamo che è un ideale principale.

[modifica] Proprietà

Un ideale è proprio se e solo se non contiene l'unità dell'anello.
Un ideale può non essere un sottogruppo dell'anello.
L'anello quoziente A / I di un ideale primo è un dominio d'integrità.
L'anello quoziente A / I di un ideale massimale è un campo se A è un dominio ad ideali principali.
Gli ideali giocano un ruolo simile a quello dei sottogruppi normali nei teoremi di isomorfismo sugli anelli.
1 ∈ I ⇒ I ≡ A. Cioé se 1 appartiene all'ideale, allora l'ideale coincide con tutto A. Infatti appartengono all'ideale tutti i numeri ottenuti moltiplicando un qualsiasi elemento di A per un elemento di I.
Più in generale è sufficiente che u ∈ I ⇒ I ≡ A con u invertibile. Infatti se u è invertibile u-¹ ∈ A, quindi posso fare u*u-¹ = 1 ∈ I e riportarmi al caso precedente.

[modifica] Operazioni sugli ideali

Si definiscono somma e prodotto di ideali nel seguente modo:

$I+J:=\{a+b \,|\, a \in I , b \in J\}$

$IJ:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \,|\, a_i \in I , b_i \in J, i=1, 2, \dots, n; \mbox{ per } n=1, 2, \dots\},$

Il prodotto di ideali è contenuto nella loro intersezione, mentre l'unione di due ideali è contenuta nella loro somma.

L'intersezione di due ideali è ancora un ideale, mentre l'unione non sempre.

[modifica] Esempi

Gli interi pari formano un ideale nell'anello Z di tutti gli interi.
Nell'anello Z degli interi, ogni ideale proprio è principale.
L'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali divisibili per il polinomio x² + 1 è un ideale nell'anello di tutti i polinomi.
L'insieme delle matrici quadrate con n righe aventi l'ultima colonna nulla formano un ideale sinistro nell'anello di tutte le matrici quadrate con n righe. Non è un ideale destro!
L'anello C(R) di tutte le funzioni continue da R in R contiene l'ideale di tutte le funzioni continue f tali che f(1) = 0.
{0} e A sono ideali in qualsiasi anello A. Se A è commutativo, è un campo se e solo se questi sono gli unici ideali di A.