Método de Newton
De Wikipedia, la enciclopedia libre
En análisis numérico, el método de Newton es un eficiente algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
[editar] Descripción del método
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.
Supóngase f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f.
El radio de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático
Una ilustración del método de Newton. Se puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn para el cero (x) de la función f.
[editar] Ejemplo
Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.
Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0.5
Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustando la convergencia cuadrática.
En pseudocódigo, esto es:
function newtonIterationFunction(x) {
return x - (cos(x) - x^3) / (-sin(x) - 3*x^2)
}
var x := 0.5
for i from 0 to 99 {
print "Iteraciones: " + i
print "Valor aproximado: " + x
xold := x
x := newtonIterationFunction(x)
if x = xold {
print "Solución encontrada!"
break
}
}
