Ecuación de segundo grado

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Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$a x^2 + b x + c = 0 \,$

donde a, b y c, con a ≠ 0, son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

Tabla de contenidos

1 El caso general
2 El caso real
3 Interpretación geométrica
4 Solución mediante cambio de variable
5 Obtención de la abscisa del vertice por derivadas
6 Historia
7 Enlaces externos

[editar] El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En este cuerpo, es posible factorizar por a (con a ≠ 0) , y las siguientes identidades son válidas :

$(a - b) (a + b) = a^2 - b^2 \,$

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Para resolver la ecuación $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:

$a x^2 + b x + c = a \left ( x^2 + \frac {b} {a} x + \frac {c} {a} \right ) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {b^2 - 4 a c} {4 a^2} \right ) \quad (1)$

Sea $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ y $d^2 = \Delta \,$ . Entonces:

$(1) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {\Delta} {4 a^2} \right ) = a \left ( \left ( x + \frac {b} {2 a} \right )^2 - \frac {d^2} {4 a^2} \right ) = a \left ( x + \frac {b - d} {2 a} \right ) \left ( x + \frac {b + d} {2 a} \right )$

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ . Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:

$x_1 = -\frac {b - d} {2 a} \,$ y $x_2 = -\frac {b + d} {2 a} \,$

La igualdad: $a x^2 + b x + c = a(x - x_0)(x - x_1) \,$ da, al desarrollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:

$x_0 + x_1 = {-b \over a} \,$ y $x_0 x_1 = {c \over a} \,$

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

$X^2 - S X + P = 0 \,$ , donde S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1

- La ecuación de segundo grado, también llamada cuadrática, en su forma más simple es: $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , donde a, b, c son números reales. Al número a se le llama coeficiente principal (y tiene que ser distinto de cero pues en caso contrario, no sería de segundo grado) El número c es el término independiente.

De otra manera, podemos tomar que:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,$

Lo cual demostramos multiplicando ambas fórmulas para obtener las soluciones:

$x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \iff \cdots \iff x = \frac{c}{a}$

Además:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$

Esta vez, lo demostramos sumando las fórmulas:

$x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \left ( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right ) \iff \cdots \iff x = \frac{-b}{a}$

Por tanto, llegamos al mismo caso que antes: Si divimos por $a \,$ (lo cual está permitido, ya que $a \ne 0$ ) a la ecuación general de segundo grado, tenemos:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Entonces el coeficiente del término lineal da la suma de las raíces cambiada de signo (esto es, $\frac{-b}{a}$ ), y el término independiente es el producto de las raíces:

$x^2 - sx + p = 0 \,$ , siendo, como se ha indicado antes, $s \,$ la suma, y $p \,$ el producto.

[editar] El caso real

Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c \,$ :

Si $\Delta \ge 0 \,$ , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:

$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Si $\Delta < 0 \,$ , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica $i^2 = -1 \,$ ), pues:

$d^2 = \left (i \sqrt {-\Delta} \right )^2 = i^2 ( -\Delta ) = - ( - \Delta ) = \Delta$

y las soluciones son:

$x = \frac {-b \pm i \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

[editar] Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebraicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distinguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas). Se sabe que los matemáticos babilonios alrededor del 400 BCE y los chinos en el 300 BCE usaban este método para resolver ecuaciones de segundo grado con raíces positivas. En torno al 300 BCE Euclides creo un método geómetrico más general (abstracto).

El caso más común es: $x^2 + b x = c \,$ , con b y c positivos.

$x^2 \,$ es obviamente el área de un cuadrado de costado x, y bx la de un rectángulo de costados b y x.

Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el propósito de construir un cuadrado mayor.

Luego se añade un pequeño cuadrado de costado b/2, para completar el cuadrado.

Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.

El área del cuadrado es $c + \frac {b^2} {4} \,$ , por lo tanto su costado mide la raíz cuadrada de esta cantidad. Restándole $b \over 2 \,$ , obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).

Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo +.

[editar] Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , el cambio de variable necesario es del tipo $x = t + n \,$ .

Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación $a (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,$

y, desarrollándola, queda $a t^2 + (2 a n + b) t + a n^2 + b n +c = 0 \,$ (1).

Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2 = K \,$ se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo $x = \pm \sqrt {K} \,$ .

Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que $2 a n + b = 0 \,$ , es decir $n = -\frac {b} {2 a} \,$

Sustituyendo en (1) queda $a t^2 -\frac {b^2} {4 a} + c =0 \,$ . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^2 = K \,$ que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo $t = \pm \sqrt {K} \,$

Por tanto, despejando la variable $t \,$ en la ecuación (2), queda $t = \pm \frac { \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Dado que $x = t + n \,$ , y que $n = -\frac {b} {2 a} \,$ , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en $x \,$ , que es

$x = -\frac {b} {2 a} \ \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

El "truco" de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

[editar] Obtención de la abscisa del vertice por derivadas

Tomando en cuenta el concepto de tangente y derivadas, podemos hallar el valor de abcisas correspondiente al vertice de dicha función cuadrática.

Sabiendo la representación grafica de una parabola, afirmamos que dada una función $a x^2 + b x + c = f(x) \,$ su derivada prima $f ' (x) \,$ será igual a cero.

Derivando dicha función obtenemos:

$f ' (x) = 2 a x + b \,$

si $0 = 2 a x + b \,$ entonces $\frac {-b} {2 a} = X$

Entonces el punto en que la función cuadrática posee una recta tangente de pendiente 0(conocido como minimo/maximo relativo) será $\frac {-b} {2 a} = X$

[editar] Historia

La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida a europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

[editar] Enlaces externos

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Categorías: Álgebra | Funciones reales