Ortogonal

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Del griego orthos (recto) y gonía (ángulo)

En matemáticas, el término ortogonalidad es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.

Tabla de contenidos

1 Ortogonalidad en espacios vectoriales
- 1.1 Definición
- 1.2 Ortogonalidad y perpendicularidad
2 Ortogonalidad en otros contextos
3 Sistemas de coordenadas ortogonales
4 Temas relacionados

[editar] Ortogonalidad en espacios vectoriales

[editar] Definición

Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores $x \in V$ y $y \in V$ son ortogonales si el producto escalar de $\langle x, y \rangle$ es cero. Esta situación se denota $x \perp y$ . Además Un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

[editar] Ortogonalidad y perpendicularidad

En geometría euclídea, dos vectores $x$ y $y$ ortogonales forman un ángulo recto, los vectores $v 1 = (3,4)$ y $v 2 = (4, - 3)$ ya que, $\langle v_1, v_2 \rangle = v_1 \cdot v_2 = 3\times 4 + 4\times (-3) = 0$ . En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.

[editar] Ortogonalidad en otros contextos

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a otros objetos geométricos diferente de los vectores. Por ejemplo dos curvas suaves se consideran ortogonales en un punto si sus respectivos vectores tangentes. Dos familias de curvas se llaman ortogonales si en el punto de intersección de una curva de la primera familia con una curva de la segunda familia ambas resultan ser ortogonales..

[editar] Sistemas de coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas sobre una variedad de Riemann o un espacio localmente euclídeo es ortogonal cuando las líneas coordenadas asociadas a los valores constantes de alguna de las coordenadas tienen vectores tangentes que son ortogonales entre sí. Las coordenadas cartesianas, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son ejemplos de sistemas de coordenadas ortogonales.

Los sistemas de coordenadas ortogonales son interesantes porque el tensor métrico expresado en ese sistema de coordenadas es diagonal. Si además todos los términos del tensor métrico son +1 (o también -1 si estamos en una Variedad pseudoriemanniana) el sistema de coordendas se califica además de ortonormal.

Los sistemas de coordenadas ortogonales las líneas coordenadas forman familias de curvas ortogonales entre sí.