Factorial

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Los primeros factoriales son

0! =	1
1! =	1
2! =	2
3! =	6
4! =	24
5! =	120
6! =	720
7! =	5.040
8! =	40.320
9! =	362.880
10! =	3.628.800
11! =	39.916.800
12! =	479.001.600
13! =	6.227.020.800
14! =	87.178.291.200
15! =	1.307.674.368.000
16! =	20.922.789.888.000
17! =	355.687.428.096.000
18! =	6.402.373.705.728.000
19! =	121.645.100.408.832.000
20! =	2.432.902.008.176.640.000
21! =	51.090.942.171.709.400.000

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales entre 1 y n:

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \,$

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

$n! = \prod_{k=1}^n k$

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

$n!= \begin{cases} \mbox{si }n=0 & \Rightarrow 1 \\ \mbox{si }n>1 & \Rightarrow (n-1)! \;n \end{cases}$

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ:

(a + b)ⁿ = aⁿ + n × a^{n − 1} × b + C_{n, 2} × a^{n − 2} × b² + ... + n × a × b^{n − 1} + bⁿ

con: $C_{n,k} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

Existe un equivalente, cuando n tiende al infinito, del factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

$n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente (aunque en forma aproximada) cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que

$n!=\int^\infty_0t^ne^{-t}dt=\Gamma(n+1)$

[editar] Doble factorial

De manera similar, se define

$\begin{align} 0!! &= 1;\\ 1!! &= 1;\\ n!! &= n(n-2)!!\quad\mathrm{si}\ n>1 \end{align}$

Los dobles factoriales, se relacionan con el factorial de la sigiente manera:

Si n = 2k,

$(2k)!! = 2^k\,k!$
Si n = 2k + 1,

$(2k+1)! = (2k+1)!!\cdot(2k)!!$

y por la expresión anterior,

$(2k+1)!! = \frac{(2k+1)!}{2^k\,k!}$

[editar] Implementaciones del factorial

[editar] Mathhematica

 fact[0] = 1;
 fact[n_] := n f[n-1]

[editar] Implementación del Algoritmo en C con funciones By ELiTe

By ELiTe

include <stdio.h>
include <conio.h>

int factorial(int n2);

main() {

  int n,x;
  printf("Introduzca numero: ");
  scanf("%d",&n);
  x=factorial(n);
  printf("el factorial de %d es: %d",n,x);
  getch();

}

int factorial(int n2) {

  int i,s;
  s=1;
  if (n2!=0)

{

   for (i=n2;i>=1;i--)
        {
        s=s*i;
        }
  }
  return(s);

}

[editar] Implementación del Algorítmo en Winpseudo V1.4

INICIO  Programa21 - "Factorial de x" 
   VAR 
      numerico x
      numerico f
      numerico i
      string   PTR 
   FIN-VAR

   leer (x)
   f = 1 

   PTR = UNIR(NL, x, "! = 1")
   Imprimir (PTR) 
 
   i = 1
   MIENTRAS (i <= x)
      f = f * i 
      imprimir "x"
      imprimir entero(i)
      i = i + 1
   FIN-MIENTRAS

   imprimir " = "
   imprimir (f)

FINAL