Ekvivalenssirelaatio
Wikipedia
Joukon M alkioiden välillä määritelty relaatio R on ekvivalenssirelaatio, jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:
(1) Jos a = b, niin aRb (alkio a on relaatiossa R alkioon b).
(2) Jos aRb, niin myös bRa.
(3) Jos aRb ja bRc, niin aRc.
Ensimmäistä ominaisuutta sanotaan refleksiivisyydeksi, toista symmetrisyydeksi ja kolmatta transitiivisuudeksi. Joku yksittäinen määritelty relaatio eli suhde joukon alkioiden välillä on ekvivalenssi jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.
Esimerkiksi yhtäsuuruus reaalilukujen joukossa on selvästikin ekvivalenssirelaatio, koska se toteuttaa varmasti kaikki kolme ekvivalenttisuuden ehtoa.
Toinen esimerkki: Määritellään relaatio I reaalilukujen välillä siten että aIb jos a-b on kokonaisluku. I on refleksiivinen koska a-a = 0 on kokonaisluku. Jos aIb eli a-b on kokonaisluku, niin myös b-a on kokonaisluku eli bIa ja I on symmetrinen. Myös jos aIb ja bIc, niin a-b ja b-c ovat kokonaislukuja eli myös a-c on kokonaisluku. Tällöin aIc ja I on transitiivinen. Kaikki kolme ehtoa ovat I:lle voimassa ja I on ekvivalenssirelaatio.
Eo. relaatio I tavallaan samaistaa kaikki keskenään ekvivalentit reaaliluvut joiden voidaan katsoa muodostavan yhden ekvivalenssiluokan. Esimerkiksi lukua 5/7 vastaavat ekvivalentit eli samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat luvut ovat (5/7)+n, missä n on kokonaisluku.
Ekvivalenssiluokat voidaan ajatella esitetyiksi myös yksittäisten edustajiensa välityksellä. Esimerkiksi eo. ekvivalenssissa I voidaan valita luvut vaikka puoliavoimelta väliltä [0,1) edustamaan kaikkia relaation ekvivalenssiluokkia. Kuten huomataan kaikki muut reaaliluvut ovat pakosta ekvivalentteja jonkun näistä luvuista kanssa.
Joukossa X määriteltyä ekvivalenssirelaatiota vastaa jokin joukon X ositus ja toisaalta jos joukossa X on annettu ositus, voidaan osituksen avulla määrittää X:ään ekvivalenssirelaatio. Tästä lauseestä käytetään toisinaan nimitystä ekvivalenssirelaatioiden peruslause.
