Gini-kerroin

Wikipedia

Gini-kertoimella voidaan mitata matemaattisesti tietyn jakauman epätasaisuutta. Yleisimmin Gini-kerrointa käytetään kuvaamaan tuloerojen suuruutta. Kertoimen kehitti italialainen tilastotieteilijä Corrado Gini vuonna 1912.

Sisällysluettelo

1 Gini-kerroin tulonjaon tasa-arvoisuuden mittana
2 Gini-kertoimia eri maista
3 Matemaattisesti
4 Laskenta
- 4.1 Jatkuvan muuttujan funktiolle
- 4.2 Diskreetille todennäköisyysjakaumalle
5 Lähteet

[muokkaa] Gini-kerroin tulonjaon tasa-arvoisuuden mittana

Gini-kerroin on tulonjakautumisen tasa-arvoisuuden mittari. Gini-kertoimen raja-arvoja ovat 0 ja 1: täydellisen tasaisessa tulonjaossa arvo on 0, kun taas maksimaalisesti epätasaisen tulonjaon toteutuessa arvo on 1. Gini-arvo voidaan esittää myös sadalla kerrottuna, jolloin raja-arvot ovat vastaavasti 0 ja 100.

[muokkaa] Gini-kertoimia eri maista

Maa	Gini-arvo (0-100)
Tanska	24,7
Japani	24,9
Ruotsi	25
Belgia	25
Suomi	26,9
Unkari	26,9
Itävalta	30
Alankomaat	30,9
Espanja	32,5
Intia	32,5
Ranska	32,7
Kanada	33,1
Kreikka	35,4
Iso-Britannia	36
Eesti	37,2
Turkki	40
Iran	43
Thaimaa	43,2
Yhdysvallat	46,6
Meksiko	54,6
Chile	57,1
Brasilia	59,3
Namibia	70,7

[muokkaa] Matemaattisesti

Graafinen esitys Lorenz-käyrästä havainnollistaen Gini-kerrointa. x-akseli on kotitalouksien suhteellinen osuus siten että kotitaloudet on järjestetty tulojensa mukaan suuruusjärjestykseen. y-akseli on vastaavien kotitalouksien osuus kaikista tuloista. y = x käyrä kuvastaa tilannetta jossa kaikki kotitaloudet tienaavat yhtä paljon. L(x) käyrä kuvastaa tilannetta jossa kotitalouksien tulot vaihtelevat.

Gini-kerroin mittaa todennäköisyysjakauman hajontaa. Gini-kerroin $G$ kuvastaa jakauman eriarvoisuutta.

$L (x)$ ( $x \in X = [0, 1]$ ) kuvastaa arvojen $0 \le y \le x$ todennäköisyysmassaa siten että $L(x) \le x$ , $L (0) = 0$ ja $L (1) = 1$ . Tällöin $L$ on kertymäfunktio mitattavalle suureelle $x$ .

Piirretään laatikko $X \times X$ ja sen sisään käyrät $y = x$ (suora viiva) ja $L (x)$ . Gini-kerroin

$G = \frac{A}{A + B}$ ,

missä $A$ on käyrän $y = x$ ja käyrän $L$ väliin jäävä pinta-ala, ja $B$ on käyrän $L$ alle jäävä pinta-ala

B =	∫	L(x)dx
	[0,1]

Huom. $A + B = 0,5$ koska käyrä $y = x$ rajoittaa näiden kummankin pinta-alan yksikköneliön sisällä.

Tämän seurauksena $G = 0$ tarkoittaa samanarvoisten alkioiden jakautumaa (jolloin käyrä $L$ seuraa käyrää $y = x$ ). $G = 1$ tarkoittaa täysin eriarvoista käyrää.

Tapauksessa jossa $G = 1$ kaikki tulot ovat kasautuneet jakauman kärkeen: $L (x) = 0$ , kun $x < 1$ ja $L (1) = 1$ .

[muokkaa] Laskenta

[muokkaa] Jatkuvan muuttujan funktiolle

Koska $A + B = 0,5$ , saadaan

$G = \frac{A}{A + B} = \frac{0.5 - B}{0,5} = 1 - 2B = 1 - 2 \int_{[0,1]} L(x) dx$ .

[muokkaa] Diskreetille todennäköisyysjakaumalle

Diskreetille todennäköisyysjakaumalle $f (y i)$ , missä $i = 1, \dots, n$ , ja $y_{i} \le y_{i + 1}$ , Gini-kerroin $G$ saadaan määritettyä seuraavasti:

$G = 1 - \frac{\Sigma_{i=1}^n \; f(y_i)(S_{i-1}+S_i)}{S_n}$

, missä

$S_i = \Sigma_{j=1}^i \; f(y_j)\,y_j\,$ ja $S_0 = 0\,$

[muokkaa] Lähteet

2005 Development Programme Report, Yhdysvaltojen kohdalla hallituksen tiedot.
Kattavammat tiedot eri maista saantivuosineen löytyvät englanninkielisen Wikipedian sivulta en:List_of_countries_by_income_equality.