Calcul numérique

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Simulation numérique d'une collision d'une voiture dans un mur

On entend souvent par calcul numérique un ensemble de calculs qui sont réalisés sur un système informatique, encore appelé système numérique (ou ordinateur). On réalise généralement des calculs numériques pour simuler par exemple des phénomènes naturels, ou encore des déformations de matériaux sous l'effet de contraintes extérieures, etc. autant de domaines pour lesquels le calcul à la main (sur une simple feuille de papier) prendrait non seulement des heures et des heures, mais également des milliers et des milliers de feuilles de papier, et donc d'arbres … (Voir aussi : Simulation informatique, Ingénierie numérique).

Cependant il s’agit d’une simplification pratique du domaine d’étude qui est plus vastement abordé de façon théorique et mathématique dans l’analyse numérique.

[modifier] Histoire

Le champ d’application de l’analyse numérique précède de nombreux siècles l’invention des calculatrices et ordinateurs modernes. En fait, bon nombre de mathématiciens du passé étaient préoccupés par l’analyse numérique, comme en témoignent évidemment les noms des algorithmes les plus importants tels que la méthode de Newton, l’interpolation lagrangienne, l’élimination de Gauss-Jordan ou la méthode d’Euler (en).

Pour faciliter les calculs manuels, de volumineux livres ont été créés, contenant des formules et tables de données telles que les points d’interpolation et coefficients de fonctions. À l’aide de ces tables (souvent calculées avec 16 chiffres significatifs, voire plus pour certaines fonctions), on pouvait rechercher les valeurs à utiliser dans les formules données, et obtenir de très bonnes estimations de certaines fonctions. Un travail fondamental dans ce domaine est la publication du NIST (éditée par Abramowitz et Stegun) d’un livre de plus de 1 000 pages comprenant un très grand nombre de formules et fonctions usuelles, et leurs valeurs en de nombreux points. Les valeurs de fonctions ne sont plus guère utiles aujourd’hui dès lors qu’un ordinateur est disponible, mais son recensement très exhaustif de formules connues peut encore s’avérer très pratique.

La règle à calcul représentait aussi une application pratique de ces anciennes tables numériques pour l’approximation rapide (généralement limitée à 3 ou 4 chiffres significatifs) de certaines fonctions continues à variable réelle simple (comme les fonctions trigonométriques, logarithmiques et exponentielles, et l’approximation rapide de la multiplication). Elle fut longtemps en usage notamment dans l’ingénierie jusqu’au début des années 1980 avant que les calculatrices dites scientifiques ne soient largement répandues et accessibles au grand public à un prix modique maintenant inférieur au coût de fabrication de ces règles finalement peu évidentes à utiliser.

La calculatrice mécanique a aussi été développée comme un outil pour le calcul manuel dès son invention, liée au développement de l’horlogerie, notamment dans les applications commerciales (comme la caisse enregistreuse largement diffusée depuis le XIX^e siècle). Ces calculatrices ont évolué en ordinateurs électroniques dans les années 1940 grace à la découverte des propriétés discrètes de la jonction P-N des semi-conducteurs (et son application dans le transistor), et on a vite découvert que ces ordinateurs seraient également utiles à des fins administratives. Mais l’invention de l’ordinateur a aussi influencé et largement étendu le champ d’application de l’analyse numérique, puisque dorénavant des calculs bien plus longs et compliqués peuvent être réalisés.

[modifier] Applications

Les algorithmes d’analyse numérique sont appliqués de façon routinière pour résoudre de nombreux problèmes dans les sciences appliquées et l’ingénierie.

Des exemples sont la conception de structures comme les ponts, systèmes aéronautiques ou automobiles (voir par exemple CAO, Sciences physiques numériques, dynamique numérique des fluides) ou de systèmes complexes et chaotiques (voir Prévision numérique du temps, Climateprediction et modèles climatiques en météorologie), l’analyse, la modélisation ou la conception de molécules (voir Chimie numérique, Biochimie, Génétique), la recherche pétrolière et la géodésie, l’astrophysique, et les arts graphiques et la modélisation 3D (effets spéciaux au cinéma, les dessins animés, les jeux vidéos), les statistiques appliquées (démographie, modèles économiques…), l’analyse financière ou boursière.

En fait, pratiquement tous les superordinateurs mettent en pratique continuement des algorithmes d’analyse numérique. Par conséquent, l’efficacité des algorithmes joue un rôle important, et une méthode heuristique peut être préférée à une méthode basée sur une solide fondation théorique, simplement parce qu’elle est plus efficace.

Généralement aussi la recherche fondamentale en analyse numérique utilise aussi des résultats empiriques de calculs numériques pour tester de nouvelles méthodes et simplifier l’analyse des problèmes (notamment pour éliminer de fausses pistes ou vérifier sommairement la validité d’une démonstration compliquée, ou tenter d’invalider une conjecture), bien qu’elle emploie aussi bien sûr des axiomes mathématiques, des théorèmes et des preuves (démonstrations).

[modifier] Logiciels

Article principal : Liste de logiciels d’analyse numérique (en)

Aujourd'hui, la plupart des algorithmes sont implementés et tournent sur un ordinateur. Le dépôt Netlib (en) contient diverses collections de routines logicielles pour les problèmes numériques, principalement en Fortran et en langage C. Parmi les produits commerciaux implémentant de nombreux algorithmes numériques différents, figurent les bibliothèques numériques IMSL (en) et NAG (en) ; une alternative libre est la GSL. D’autres bibliothèques utilisent une approche différente basée sur des recettes numériques (en) qui mettent en avant la compréhension des algorithmes classiques, tels que vus par des non-spécialistes (certains considèrent cette approche comme une force, d’autres déplorent les simplifications et parfois mauvais conseils).

D’autres langages populaires de calculs numériques incluent Scilab, Octave, MATLAB, et les langages de programmation IDL (Interactive Data Language) et Python. Ce sont des langages interprétés (aussi appelés parfois langages de script), mais ils permettent le développement rapide et le prototypage, et peuvent si nécessaire être convertis en Fortran ou en C pour des calculs plus rapides.

Nombre de systèmes algébriques numériques (en) tels que Mathematica ou Maple (les systèmes en logiciel libre incluent Maxima, Axiom (en), calc (en) et Yacas (en)) peuvent aussi être utilisés pour le calcul numérique informatisé. Cependant, leur puissance est généralement liée au calcul symbolique, et de tels systèmes peuvent aider à transformer un problème numérique complexe en suite finie d’éléments de calcul numérique simples, évalués alors individuellement par des recettes numériques suivant certaines contraintes.