Composé polyèdrique
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Un composé polyèdrique est un polyèdre qui est lui-même composé de plusieurs autres polyèdres partageant un centre commun, l'analogue tridimensionnel des composés polygonaux tel que l'hexagramme.
Les sommets voisins d'un composé peuvent être connectés pour former un polyèdre convexe appelé l'enveloppe convexe. Le composé est un facettage de l'enveloppe convexe.
Un autre polyèdre convexe est formé par le petit espace central commun à tous les membres du composé. Ce polyèdre peut être considéré comme le noyau pour un ensemble de stellations incluant ce composé. (Voir la liste des modèles de polyèdres de Wenninger pour ces composés et plus de stellations.)
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[modifier] Composés réguliers
Un composé polyèdrique régulier peut être défini comme un composé qui, comme un polyèdre régulier, est de sommet uniforme, de face uniforme et de face uniforme. Avec cette définition, il existe 5 composés réguliers.
| Composants | Image | Enveloppe convexe | Noyau | Symétrie | Dual |
|---|---|---|---|---|---|
| Composé de deux tétraèdres, ou octangle étoilé | Image:Compound of two tetrahedra.png | Cube | Octaèdre | Oh | Auto-dual |
| Composé de cinq tétraèdres |  |
Dodécaèdre | Icosaèdre | I | énantiomorphe, ou jumeaux chiraux |
| Composé de dix tétraèdres |  |
Dodécaèdre | Icosaèdre | Ih | Auto-dual |
| Composé de cinq cubes |  |
Dodécaèdre | Triacontaèdre rhombique | Ih | Composé de cinq octaèdres |
| Composé de cinq octaèdres |  |
Icosidodécaèdre | Icosaèdre | Ih | Composé de cinq cubes |
Le plus connu est le composé de deux tétraèdres, souvent appelé l'octangle étoilé, un nom donné par Kepler. Les sommets des deux tétraèdres définissent un cube et l'intersection des deux, un octaèdre, qui partage les mêmes faces planes que le composé. Ainsi, c'est une stellation de l'octaèdre.
L'octangle étoilé peut aussi être regardé comme un #Composé dual-régulier.
Le composé de cinq tétraèdres se décline en deux versions énantiomorphes, qui ensemble forment le composé de 10 tétraèdres. Chaque composé tétraèdrique est auto-dual, et le composé de 5 cubes et le dual du composé de 5 octaèdres.
[modifier] Composé dual-régulier
Un composé dual-régulier est composé d'un polyèdre régulier (un des solides de Platon ou des solides sz Kepler-Poinsot) et son dual régulier, arrangé réciproquement sur une sphère intermédiaire commune, telle que l'arête d'un polyèdre coupe l'arête duale du polyèdre dual. Il existe cinq composés de cette sorte.
| Composants | Image | Enveloppe convexe | Noyau | Symétrie |
|---|---|---|---|---|
| Composé de deux tétraèdres | Image:Compound of two tetrahedra.png | Cube | Octaèdre | Oh |
| Composé du cube et de l'octaèdre |  |
Dodécaèdre rhombique | Cuboctaèdre | Oh |
| Composé du dodécaèdre et de l'icosaèdre |  |
Triacontaèdre rhombique | Icosidodécaèdre | Ih |
| Composé du grand icosaèdre et du grand dodécaèdre étoilé |  |
Dodécaèdre | Icosaèdre | Ih |
| Composé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre |  |
Icosaèdre | Dodécaèdre | Ih |
Le composé dual-régulier d'un tétraèdre avec son polyèdre dual est aussi l'octangle étoilé régulier, puisque le tétraèdre est auto-dual.
Les composés duaux-réguliers cube-octaèdre et dodécaèdre-icosaèdre sont les premières stellations du cuboctaèdre et de l'icosidodécaèdre, respectivement.
Le composé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre ressemblent extérieurement au petit dodécaèdre étoilé, parceque le grand dodécaèdre est complètement contenu à l'intérieur.
[modifier] Composés uniformes
En 1976, John Skilling publia Uniform Compounds of Uniform Polyhedra (Composés uniformes de polyèdres uniformes) qui énumére 75 composés (incluant 6 ensembles prismatiques infinis de composés, #20-#25) fait à partir de polyèdres uniformes avec une symétrie rotationnelle. (Chaque sommet est de sommet uniforme et chaque sommet est transitif avec chaque autre sommet). Cette liste inclut les cinq composés réguliers ci-dessus. [1]
Voici une table imagée des 75 composés uniformes listée par Skilling. La plupart sont colorés par chaque élément polyèdrique. Certains, comme les paires chirales, sont colorés par symétrie des faces avec chaque polyèdre.
- 1-19 : Divers (4,5,6,9 et 17 sont les 5 composés réguliers)
- 20-25 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie dièdrique,
- 26-45 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie octaèdrique ou icosaèdrique,
- 46-67 : Symétrie tétraèdrique incluse dans la symétrie octaèdrique ou icosaèdrique,
- 68-75 : paires énantiomorphes
[modifier] Liens externes
- MathWorld: composé polyèdrique
- Stella: Polyhedron Navigator - Logiciel qui peut imprimer des réseaux de beaucoup de composés.
- Composés polyèdriques – de Virtual Reality Polyhedra
- Les 75 composés uniformes de Skilling de Polyèdres Uniformes
- Les composés uniformes de Skilling de Polyèdres Uniformes
- Composés polyèdriques
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- http://www.progonos.com/furuti/Origami/Modular/virtual.html
- Composé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre {5/2,5}+{5,5/2}
[modifier] Références
- John Skilling, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 79, pp. 447-457, 1976.
- Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge, 1997.
- Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England, Cambridge University Press, 1983. (51-53)
- Michael G. Harman, Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, circa 1974. [2]
- Edmund Hess 1876 "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 11 (1876) pp 5-97.
- Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509.
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