Trace (algèbre)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Trace. 

---

En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée est définie comme la somme de ses éléments diagonaux ; la trace est une forme linéaire sur l'ensemble des matrices. Il est également possible de définir la trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
Dans tout l'article on considère des matrices à coefficients dans un corps .

Sommaire 1 Trace d'une matrice carrée 2 Trace d'un endomorphisme 3 Propriétés 3.1 Trace et polynôme caractéristique 3.2 Trace et réduction 3.3 Trace de la matrice d'une permutation 3.4 Produit scalaire canonique 3.5 Divers

[modifier] Trace d'une matrice carrée

Étant donnée une matrice carrée , on note sa trace et on la définit comme égale au scalaire :

Pour toutes matrices carrées et (de même ordre) et pour tout scalaire , les propriétés suivantes sont vérifiées :

Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre donné (propriétés 1 et 2), invariante par transposition (propriété 3).

La propriété 4 a pour corollaire important l'égalité suivante, valable pour toute matrice carrée et pour toute matrice inversible de même ordre :

Autrement dit la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné. C'est cette propriété qui va nous permettre de définir la trace d'un endomorphisme « abstrait ». La réciproque de ce résultat est vraie en ce sens : toute forme linéaire sur l'espace des matrices carrée, invariante par similute est proportionnelle à la trace.

D'autre part, la propriété 4 reste valable pour des matrices rectangulaire :

[modifier] Trace d'un endomorphisme

On se donne un espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme  ; on veut définir la trace de . Dès que l'on fixe une base de , on peut donner la représentation matricielle de relativement à  : c'est une matrice . On est tenté de définir la trace de comme étant égale à celle de .

Le problème est que cette définition dépend a priori du choix initial de la base . La question est donc : la valeur ainsi définie dépend-t-elle vraiment du choix de la base ? Autrement dit, arrive-t-on à une valeur différente de la trace de si on la calcule dans une autre base  ? La réponse est heureusement non et ce grâce à la propriété 5 ci-dessus.

En effet si on note la matrice de dans la nouvelle base , on a la relation dite « de changement de base » : , où désigne la matrice de passage de la base à la base . Or d'après la propriété 5 : , donc . Ainsi notre définition de la trace de est intrinsèque c'est-à-dire indépendante du choix d'une base particulière pour son calcul. On la notera .

On peut assez naturellement adapter les premières propriétés de la trace d'une matrice carrée à la trace d'un endomorphisme. Pour tous endomorphismes et pour tout scalaire les propositions suivantes sont vérifiées :

De plus, pour (c'est-à-dire que est un automorphisme) :

Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel , invariante par transposition et par conjugaison.

[modifier] Propriétés

Toutes les propriétés qui suivent sont énoncées uniquement dans le cas des matrices carrées ; les énoncés parallèles pour les endomorphismes s'en déduisent facilement.

[modifier] Trace et polynôme caractéristique

Considérons une matrice carrée d'ordre et notons son polynôme caractéristique. On peut écrire . La trace de apparaît alors naturellement dans le développement de puisqu'on a la relation :

.

[modifier] Trace et réduction

Dans le cas où une matrice carrée est trigonalisable (et a fortiori lorsqu'elle est diagonalisable) on peut donner une relation simple entre la trace de et ses valeurs propres. Notons ces valeurs propres et leurs ordres de multiplicité respectifs. Alors on a :

.

On peut obtenir cette relation en trigonalisant la matrice et en appliquant l'invariance de la trace par similitude, mais aussi en appliquant les relations entre coefficients et racines au polynôme caractéristique et en appliquant la propriété précédente.

[modifier] Trace de la matrice d'une permutation

On peut représenter une permutation (où représente le groupe symétrique d'ordre ) par une matrice carrée d'ordre , définie par :

• si  ;
• sinon.

La trace de la matrice s'interprète alors comme le nombre de points fixes de la permutation  :

.

[modifier] Produit scalaire canonique

Soit et deux matrices dans . On remarque que

On dispose ainsi d'une écriture agréable du produit scalaire canonique.

Avec cette définition, il aparait clairement que les matrices symétriques et les matrices antisymétriques forment deux sous-espaces orthogonaux de l'ensemble des matricesz carrées.

[modifier] Divers

• La trace de la matrice identité d'ordre est donnée par : .
• L'ensemble formé des matrices de trace nulle est un hyperplan de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre donné.
• Soit E un -espace vectoriel de dimension n, étant un corps de caractéristique 0, et u un endomorphisme de E. Si alors uⁿ = 0.
• La trace d'un projecteur est égale à son rang : .
• La trace d'une rotation plane d'angle est donnée par : .
• Plus généralement pour tout entier , la trace d'une rotation d'axe et d'angle dans l'espace à dimensions est donnée par : .
• La trace de la matrice d'adjacence d'un graphe est nulle.

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire

Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire | Déterminant | Trace | Rang | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan | Décomposition de Dunford | Valeur propre | Polynôme caractéristique | Forme linéaire | Espace dual | Orthogonalité | Produit scalaire | Produit vectoriel | Polynôme d'endomorphisme | Polynôme minimal | Tenseur | Covecteur | Algèbre multilinéaire

Modifier