Discuter:Racine carrée de deux

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[modifier] Archivage de la discussion

Pour toute discussion relative aux soucis posés par la reprise de page de l'ouvrage de Benoît Rittaud "Le fabuleux destin de √2", à la violation de copyright conséquente, aux solutions apportées à celles-ci, à la possibilité de créer un article sur cet ouvrage, et sur tout thème annexe, voir la page dédiée Discuter:√2/Copyvio.

Les archives de la discussion sur l'ancienne version de l'article est disponible sur Discuter:√2/ArchiveAout2006.

Ceci dans le but d'alléger cette page de discussion ayant atteint les 96 Ko et de se concentrer sur la nouvelle version de l'article.

--Dereckson 28 août 2006 à 04:11 (CEST)

[modifier] Constante mathématique ?!?

L'article commence par "La racine carrée de deux (...) est une constante mathématique" gulps!!! Je ne vois vraiment pas pourquoi c'est une constante. C'est juste le résultat d'un calcul et effictivement le résultat d'un calcul ne varie pas. Mais ca n'a rien à voir avec une constante comme e, p ou i. D'ailleurs les constantes sont notées par une (ou plusieurs) lettre(s) et ne sont en aucun cas une formule. Parce que sinon cos(2+78) est une constante mathématique, et mon numéro de sécu également. Michel ouiki 27 août 2006 à 12:05 (CEST)

:D :o) Non, v2 est une contante, elle n'est pas notée par une lettre, certes, mais comme beaucoup de choses dépandent de lui, les mathématiciens lui ont récemment accordé ce grade. Bien sur v2 n'est pas de la trempe d'un p ou d'un f.

Amicalement, Rogilbert _@^@ @ ^@_@

Le terme constante mathématique ne me semble pas vraiment usité ; ça ressemble à une déformation de constante physique, dont on ne voit pas bien le but. Quels sont les mathématiciens qui accordent ou non le grade de constante à un nombre?Salle 27 août 2006 à 12:26 (CEST)

c'est un terme essentiellement relatif (constantes d'intégration), comme le montre l'expression succulente "variations des constantes" pour les équations différentielles. Je dirais de e, p ou i que ce sont des nombres remarquables (ce qui n'a pas vraiment de sens mais c'est une autre histoire)... Peps 27 août 2006 à 12:34 (CEST)

Btw, en informatique, on considère très souvent la racine carrée de deux est une constante dans les langages modernes (un exemple : M_SQRT2 en PHP) afin d'éviter de devoir recalculer ce nombre si fréquemment utilisé. Ne me faites pas dire ce que je n'ai pas dit, je ne me prononce nullement sur les constantes mathématiques. --Dereckson 27 août 2006 à 12:37 (CEST)

La Catégorie:Nombre remarquable existe et a un sens bien défini. Elle devrait lister des nombres réels ou complexes qui, par leur histoire ou leur impact en mathématiques, méritent un article. C'est en ce sens qu'ils sont remarquables (De même, groupe remarquable, fonction remarquable, ...).

Pour constante mathématique, la catégorie était classée avec constante physique ; donc je pense qu'à l'origine il faut entendre constante physique non dimensionnelle. Mais je ne sais pas trop quoi en penser. Ektoplastor, le 27 Août, 22:31

Je crois qu'Euler utilisait le terme de constante mathématiques (en remarquant notamment l'équation exp(ip)+1=0 utilisait les cinq constantes fondamentales et était donc la plus belle des équations) donc constante mathématique aurait un sens. Mais pour moi, toutes les non variables sont a priori des constantes (en gros on peut le definir par leur comportement en dérivabilité par exemple), enfin après c'est surtout une question de vocabulaire. --Darunia 28 août 2006 à 01:19 (CEST)

Pour soutenir mon point de vue, comparer Table de constantes mathématiques et Constante physique ; on voit que les constantes mathématiques sont définies comme des constantes physiques sans dimension :). Et racine carrée de deux apparait à cause peut-être des histoires d'intensité efficace !? Ektoplastor, 10:30

Point de vue de physicien, ça, donc non encyclopédique :). Pour moi, racine de deux entre tout à fait dans ta catégorie nombre remarquable telle que tu la définis.Salle 28 août 2006 à 10:43 (CEST)

Il est vrai que l'expression constante mathématique fait plutôt partie du jargon du physicien. Mais il y a aussi la constante

γ

d'Euler (ou Constante d'Euler-Mascheroni). Et puis certains mathématiciens utilisent bien ces abus (ou peut-être des vieilleries fausses). Que diriez-vous de la constante du millénium 2000 ? Oxyde 28 août 2006 à 10:56 (CEST)

Je viens de créer un article nombre remarquable. Qu'en pensez-vous ? Oxyde 28 août 2006 à 14:46 (CEST)

[modifier] Proportion d'argent

Je ne vois pas bien ce que le paragraphe sur la proportion d'argent vient faire dans l'article, et encore moins dans la partie Propriétés mathématiques principales. Au mieux, je mettrais un lien interne en bas de l'article. D'accord, pas d'accord? Michel ouiki 27 août 2006 à 12:38 (CEST)

Sous le nom Proportion d'argent, je m'en fiche un peu. En revanche, la matière vers laquelle on va, et pour laquelle racine de deux est un exemple pas plus mauvais qu'un autre, c'est l'existence d'un développement en fraction continue, sa périodicité en lien avec le degré d'algébricité du nombre en question, et toutes les questions d'approximation diophantienne. Disons que proportion d'argent, ça fait moins peur, et ça renvoie les gens à l'idée du nombre d'or : un bon produit d'appel, en somme.Salle 27 août 2006 à 12:42 (CEST)

elle permet aussi un élargissement à la question des extensions quadratiques (nombres de la forme a+b*v2 avec a et b des fractions) qui méritent d'être évoquées (j'ignore si elles l'étaient déjà) Peps 27 août 2006 à 12:45 (CEST)

Le lien vers la suite de l'article (existence d'un développement en fraction continue) ne me parrait pas flagrant. Et si c'était le cas, on devrait alors shifter le paragraphe dans la section Méthodes d'approximation rationnelle. Michel ouiki 27 août 2006 à 12:57 (CEST)

Le lien n'est pas flagrant parce que l'article , et en particulier ce passage, n'est qu'à l'état d'ébauche. Ensuite, le déplacement vers méthode d'approximation rationnelle se discute : ce paragraphe est construit dans un esprit d'approximation numérique, c'est-à-dire qu'on s'intéresse surtout à la vitesse de convergence des méthodes. Je ne connais pas l'approximation diophantienne, et je pense que les notions de vitesse de convergence doivent y apparaître, mais il me semble qu'en premier lieu (ie : au niveau du livre de Hardy and Wright, Introduction to the theory of numbers), il y a beaucoup de propriétés intéressantes qui sont à leur place dans la partie Propriétés principales : notamment lien entre degré d'algébricité, certaines propriétés de la fraction continue et pas d'une certaine relation de récurrence. Bon, je suis conscient que tout cela est flou, mais je ne me souviens pas bien, et je n'ai pas le livre sous la main. J'essaierai peut-être de faire mieux dans les jours qui viennent.Salle 27 août 2006 à 16:04 (CEST)

[modifier] Une entrée dans OEIS ?

Je pensais ajouter une phrase du type : Les premières décimales du développement de $\sqrt{2}$ figurent dans l'Encyclopédie électronique des suites entières à A002193. Oxyde 27 août 2006 à 14:23 (CEST)

[modifier] v2 dans un carré

J'ai proposé une autre version qui me semble avoir l'avantage d'éclairer un aspect historique. A mon avis, il faudra choisir entre la version « v2 dans un carré » et la version « duplication du carré » car elles traitent sous des formes différentes de la même chose. HB 27 août 2006 à 22:18 (CEST)

celle que tu as mise est très bien il me semble Peps 28 août 2006 à 14:41 (CEST)

Très bien pour moi. Oxyde 28 août 2006 à 14:45 (CEST)

Ce que tu proposes amène une question : faut-il une section "histoire" séparée ? Car de nombreux aspects du sujet sont "historiques". Je me demande s'il ne faudrait pas intégrer les considérations historiques dans les autres paragraphes, comme tu l'as fait ici, plutôt que d'avoit une section à part. -- El Caro ^bla 28 août 2006 à 15:48 (CEST)

pour moi, la section histoire me semble indispensable; au moins pour la tablette et la découverte de l'irrationnalité. Je pense d'ailleurs qu'il faudrait distinguer plus nettement ce qui tient de l'histoire (tablette) et ce qui tient de la légende : en réalité, on ne sait rien de tangible sur la découverte de l'irrationnaltié de v2. Ni qui l'a démontré, ni par quelle méthode. On peut seulement la dater entre Pythagore et Théodore de Cyrène (qui démontre l'irrationnalité de V3, V5, etc). La première trace d'une démonstration figure dans les éléments, c'est la démonstration pair, impair mais il semble que cette proposition soit postérieure à Euclide. HB 28 août 2006 à 18:11 (CEST)

Pythagore a-t-il vraiment existé ? Ektoplastor, 18:20

[modifier] Que mettre de plus ?

Je vois des parties "propriétés diverses" et "applications" ; y a-t-il déjà des idées pour ces parties ?

il me semble qu'on peut faire un paragraphe "extension quadratique" regroupant la question des nombres de la forme a+b√2, ceux que √2 permet de construire (cf ci-dessus), avec la proportion d'argent et peut être aussi les développements évoqués par Salle : lien degré algébrique - fraction continue, lien degré algébrique - vitesse d'approx par des rationnels. Mais comme je ne sais pas ce qui était prévu pour les deux parties sus mentionnées, je ne sais trop où caser cela. Peps 28 août 2006 à 14:40 (CEST)

Vu la façon dont on en est arrivé là, et l'état actuel de l'article, àma, si tu as l'idée d'un paragraphe (ça semble le cas), et le courage de le faire, tu (et n'importe qui, d'ailleurs) peux y aller sans passer en page de discussion au préalable.Salle 28 août 2006 à 17:07 (CEST)

Il n'y a pratiquement aucun lien connu à l'heure actuelle entre le degré algébrique et les fractions continues en-dehors de l'équivalence : développement périodique <=> degré 2. À mon avis, il est intéressant d'en parler, mais ça ne concerne pas vraiment √2 et aurait plus sa place dans des articles "nombres algébriques", "nombres quadratiques" et/ou "fractions continues". Quant à la question de la vitessse d'approximation par les rationnels, elle permet surtout de mettre en valeur le nombre d'or, qui est celui pour lequel la suite de ses meilleures approximations par les rationnels est la plus lente à converger (en un sens précis donné dans Hardy & Wright). √2 vient juste après le nombre d'or, ou plus précisément après l'ensemble des nombres dits "nobles", c'est-à-dire dont le développement en fraction continue ne contient que des 1 à partir d'un certain rang. C'est d'ailleurs logique : plus les quotients partiels sont petits, moins bonnes sont les approximations rationnelles ; une fois enlevés les 1 (nombre d'or), il ne reste qu'à prendre les 2. Je ne sais pas si c'est très utile d'en parler, mais bon, pourquoi pas. --Benoit Rittaud 28 août 2006 à 15:51 (CEST)

je suis plutôt d'accord avec Benoit Rittaut. On s'éloignerait trop du sujet principal; En revanche, les développement de V2 en fraction continue, en produit - à l'aide de l'écriture de cos(x) sous forme de produit - en somme avec le DL de V(1+x) et celui de cos(x) me semblent nécessaires. Quant à application... et bien euh... c'est délicat..., j'attends la version de Lachaume tout en sachant que Benoit Rittaud risque d'avoir l'impression d'être pillé. HB 28 août 2006 à 18:22 (CEST)

mon idée était plutôt de mentionner des propriétés vraies pour √2 en signalant qu'elles sont vraies plus généralement, de profiter de √2 aussi comme une ouverture à des champs plus larges. En l'occurence pour la propriété d'approximation je pensais à ceci : pour un nbre quadratique, une approximation par un rationnel p/q se fait au mieux en cte sur q^2. C'est simple (ça porte-t-il un nom ?) et ça ne figure pas jusqu'ici semble-t-il. C'est à mettre en perspective avec les vitesses de convergence des algorithmes et la propriété d'optimalité des fractions continues. Mais je viens de réaliser qu'il y a un article Irrationnel quadratique qui serait plus adapté effectivement, à condition d'être lié à celui-ci. Peps 28 août 2006 à 21:46 (CEST)

J'approuve à 100% (forcément, je l'avais déjà ajouté dans la version précédente). Je disais : la racine de deux est mal approchable par les rationnels. Je ne pense que ça a un nom particulier. Et en effet, je trouve ça intéressant (exercice classique de prépas :) ). Ektoplastor, même jour, 21:53

L'approximation au mieux en 1/q² = degré d'irrationnalité 2. (tous les algébriques irrationnels.) — Régis Lachaume ✍ 28 août 2006 à 22:45 (CEST)

Le résultat mentionné par Peps est un cas particulier du résultat plus général dû à Liouville qui concerne les nombres algébriques en général et est aujourd'hui un exercice classique des premières années post-bac, comme le dit Ektoplastor (c'est comme ça que Liouville a montré l'existence de nombres transcendants). Ledit "exercice" a été amélioré depuis, le résultat le plus général connu étant le théorème de Roth, qui met tous les algébriques dans le même panier : en gros, tous les algébriques sont aussi mal approchables les uns que les autres par des rationnels. Dans le détail, pourtant, le résultat de Liouville permet aux quadratiques de se glisser dans un trou de souris (un epsilon en moins dans l'exposant à mettre à la fraction 1/q majorante) et de se montrer un poil moins approchable encore que les autres algébriques (mais il n'est pas exclu que le théorème de Roth puisse être amélioré). Cette subtile nuance fait qu'il est légèrement inexact de dire que l'approximation est au mieux en 1/q^2 pour tous les algébriques : aujourd'hui, on ne le sait que pour les quadratiques. C'est effectivement un sujet très intéressant, mais qui reste un peu loin de la racine carrée de 2 proprement dite. --Benoit Rittaud 28 août 2006 à 22:55 (CEST)

[modifier] Histoirique

J'ai corrigé deux ou trois choses sur l'histoire antique sur √2. Règle d'or : on sait peu de choses sur le sujet, il faut toujours rester très prudent. Il reste encore quelques petites choses à reprendre. Quelqu'un peut-il me dire d'où vient cette approximation de 707/500 qu'auraient utilisés les Grecs ? (Je ne crois pas d'ailleurs qu'on puisse dire qu'ils aient un temps considéré que √2 était rationnelle, parce que la question elle-même ne se posait sans doute pas avant les pythagoriciens). --Benoit Rittaud 29 août 2006 à 10:43 (CEST)

C'est dans cet ouvrage: Les encyclopédies du savoir moderne, les mathématiques. Article d'André Warusfel sur les nombres. Oxyde 29 août 2006 à 13:45 (CEST)

Est-ce qu'André Warusfel cite des documents de l'époque grecque ? Si oui, pouvez-vous indiquer lesquels ? Sinon, il vaut mieux s'abstenir, parce qu'il y a un nombre d'âneries hallucinant qui circulent sur ce genre de sujets (rapportés en toute bonne fois). J'avoue être dubitatif sur l'emploi de 707/500 parce que pour des calculs approchés il est plus simple de prendre 7/5 (ou éventuellement 17/12), et pour les calculs précis pour l'astronomie (par exemple), il y a la valeur de la tablette babylonienne (base 60, donc), qu'utilise Ptolémée. --Benoit Rittaud 29 août 2006 à 15:02 (CEST)

J'ai créé l'article YBC 7289, sur la fameuse tablette babylonienne. Si certains d'entre vous veulent participer... On pourrait citer l'utilisation de cette valeur approchée par Ptolémée, par exemple. -- El Caro ^bla 29 août 2006 à 17:23 (CEST)

Malheureusement non, il ne cite aucun document et il n'y a pas de référence biblio. Oxyde 29 août 2006 à 18:12 (CEST)

Une preuve de l'irrationnalité de racine de deux qui serait due à Dedekind [1]. Oxyde

Pour El Caro, il existe une Catégorie:Mathématiques de l'Antiquité à développer. J'ai recatégorisé en conséquence son article. (Les catégories de mathématiques évoluent.) Ektoplastor, 29 août, 19:45

Deux suites (s_n) (d_n) s_0=d_0=1 et s_{n+1}=s_n+d_n d_{n+1}=2s_n+d_n et le rapport (d_n/s_n) converge vers rac de 2 auraient été utilisées par les grecs anciens pour donner des approximation de rac de 2 (et il remarque que l'on se ramène à une suite de Fibonacci) [www.ams.org/notices/199910/rev-blank.pdf] Oxyde 29 août 2006 à 20:32 (CEST)

À rajouter dans "Méthodes à convergence linéaire", non ? — Régis Lachaume ✍ 29 août 2006 à 22:12 (CEST)

Pourquoi pas. J'ai trouvé un nom à cette méthode d'approximation. Elle est due à Théon de Smyrne qui à écrit

Si a/b est une approximation de racine de 2 alors (a+2b)/(a+b) en est une meilleure.

et une adresse qui peut intéresser: [2] Oxyde 30 août 2006 à 01:26 (CEST)

Attention : Théon ne parle à aucun moment de √2. Pour lui, les s_n et d_n sont simplement deux suites qui vérifient que (d_n)^2-2(s_n)^2=(-1)^n, il s'intéresse à cette égalité mais pas à la limite du rapport des deux suites. Ce qui fait qu'il y a peut-être un lien avec √2, c'est que Théon appelle "nombres diagonaux" et "nombres latéraux" ces deux suites, et qu'on peut interpréter cette dénomination avec des carrés et des diagonales "approchées". Mais cela reste spéculatif (mais intéressant en soi, indépendamment de l'aspect historique). Je reviens sur 707/500 : en l'absence de source primaire fiable, je pense vraiment qu'il vaudrait mieux supprimer. --Benoit Rittaud 30 août 2006 à 09:58 (CEST)

Je retire, je n'ai pas beaucoup vu de 707/500 dans les différents articles. Je place la phrase ici, au cas où cette approximation rappèlerait quelque chose.

Nous savons que les Grecs antiques travaillèrent longtemps avec une approximation de √2 égale à 1,414 sous forme de la fraction 707/500 et pensaient même que √2 était rationnel^{[réf. nécessaire]}. Oxyde 30 août 2006 à 11:13 (CEST)

[modifier] Éléments de ma version de travail

J'ai intégré les parties de ma version de travail qui ne posent aucun problème de copyright.

— Régis Lachaume ✍ 29 août 2006 à 19:30 (CEST)

[modifier] ébauche?

Cet article seble très complet, je pense qu'on pourrait retirer le bandeau ébauche. Qu'en penssez vous? Mc78400 30 août 2006 à 10:55 (CEST)

Tout à fait d'accord, cet article a réellement évolué depuis la copyvio et atteint une grande qualité. J'ai retiré le bandeau. --Dereckson 30 août 2006 à 17:41 (CEST)

[modifier] LaTeX

Le remplacement de √2 dans le fil du texte par des images png générées par latex, ça gêne un peu la lisibilité et l'accessibilité, non ?

— Régis Lachaume ✍ 31 août 2006 à 18:26 (CEST)

Dans Special:Preferences chacun peut configurer son rendu des maths. VIGNERON * ^discut. 31 août 2006 à 21:03 (CEST)

J'avais coché « pour les navigateurs modernes », je viens de cocher « MathML » puis « HTML si possible » et visiblement ça ne suffit pas, le petit √2 est toujours une image malgré un rechargement de la page… ensuite, les lecteurs (donc non enregistrés) ne peuvent pas changer ça il me semble et c'est aussi à eux qu'on s'adresse. — Régis Lachaume ✍ 31 août 2006 à 23:05 (CEST)

et ça casse tous les interlignages, c'est pas joli. --Fabos ✉ 1 septembre 2006 à 15:43 (CEST)

Je préfere aussi l'utilisation de √2 dans le texte, autant profiter de l'utf-8. --Dereckson 2 septembre 2006 à 11:30 (CEST)

Je vais juste poser une question comment interprétez-vous √√22 ? Oxyde

et bien comme $\sqrt{\sqrt {22}}$ mais ça n'est guère plus beau. Je pense que la meilleure solution doit se trouver dans un juste milieu entre le jusqueboutisme de Lachaume qui préfère une barre de fraction peu lisible plutôt que

$u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n}$

ou mieux

$u_{n+1} = \frac{u_n +\frac{2}{u_n} }{2}$

et celui de nkm2 qui a remplacé partout dans le texte √2 par $\sqrt{2}$ (berk)

Personnellement je serais pour laisser √2 dans le texte mais remplacer dans les formules en exergue le √2 , les sub les sup et les barres/ par une bonne formule Tex

ça pourrait être $\sqrt{\sqrt{2}2}$ même si c'est un peu exagéré puisque je n'ai pas mis de point, mais je peux en mettre un √√2.2.

En tout cas ce n'est pas du tout le symbole mathématique de la racine carrée. D'ailleurs je pense que ça ne sert à rien de se soucier de la typographie dans le texte, si on utilise des symboles qui ne la respectent pas. Il faudrait plutôt attendre le Mathml, et écrire les maths en LaTeX partout. Mais il est vrai que le mathml semble tarder. Oxyde

Euh ... j'ai l'impression que le rendu dans les articles de mathématiques des formules dépend de l'ordinateur utilisé :). Dans certains vieux coucous, les formules Tex apparaissent tantôt minuscules, tantot majuscules, quelle que soit la configuration que j'adopte (je n'utilise pas toujours le même ordinateur). C'est pour ça qu'il serait préférable d'écrire x³+x²+1/3=0 plutôt que $x^3+x^2+\frac{1}{3}=0$ . Ektoplastor

Je ne sais pas où en est le vote et la décision, juste un petit avis

inline : unicode, pas de LaTeX
LaTeX : passer à la ligne

Frédéric Glorieux^discuter 15 octobre 2006 à 14:37 (CEST)

[modifier] Fraction continue ou continued?

Bon, il semblerait que Dieudonné voulût qu'on dît fraction continuée, mais moi, je ne veux pas, alors ce n'est pas un argument. Plus sérieusement, il me semble que l'usage est de dire Fraction continue. Je n'ai jamais entendu un collègue dire autre chose. Nous n'avons pas à nous poser en prescripteurs, et à aller contre l'usage. Quelqu'un pense-t-il que fraction continuée est répandu?Salle 21 septembre 2006 à 16:10 (CEST)

Histoire d'être logique, il faudrait régler ça sur l'article fraction continuée (le redirect va du terme traditionnel vers le terme traduit de l'anglais). En tout cas, je ne pense pas que ça ait grande importance, les deux se comprennent. — Régis Lachaume ✍ 21 septembre 2006 à 23:25 (CEST)

[modifier] Preuve arithmétique de l'irrationnalité

Cela fait plusieurs fois que je reverte des modifs sur cette preuve. Pas tellement que je sois sûr que la version actuelle est meilleure, mais manifestement, les gens qui veulent modifier ne comprennent pas très bien cette version ; et je n'aime pas qu'on modifie une preuve en disant que la version actuelle est fausse, alors qu'elle est juste, ni qu'on remplace par une preuve dans laquelle il y a une erreur. Voilà les deux versions en concurrence, écrites sans erreur, faisons un choix sur le principe Laquelle on préfère?, sachant qu'elles pourront bien sûr être écrites différemment dans l'article :

Par l'absurde, supposons que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On peut alors l'écrire comme une fraction, et même une fraction irréductible : $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ , c'est-à-dire p et q sont premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient une écriture de 2 sous forme fractionnaire : $2=\frac{p^2}{q^2}$ , qui est à nouveau une écriture irréductible. Par unicité d'une telle écriture, on déduit $p 2 = 2$ et $q 2 = 1$ ; la première équation n'a pas de solution pour p entier, c'est une contradiction.
Par l'absurde, supposons que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On peut alors l'écrire comme une fraction, et même une fraction irréductible : $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ , c'est-à-dire p et q sont premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient une écriture de 2 sous forme fractionnaire : $2=\frac{p^2}{q^2}$ , dont on déduit $2 q 2 = p 2$ . Il vient alors que 2 divise $p 2$ , ce dont on déduit que 2 divise p, puis que 4 divise $p 2$ . On trouve alors $q^2=\frac{p^2}{2}$ est divisible par 2, dont on déduit que q est aussi divisible par 2. 2 divise à la fois p et q, c'est une contradiction avec l'hypothèse d'irréductibilité.

La première démonstration a pour moi l'avantage d'être plus simple, mais, je ne suis pas non plus un militant acharné. Je propose qu'on ne modifie plus la page sur ce point tant qu'on n'aura pas décidé.Salle 10 octobre 2006 à 13:56 (CEST)

je viens d'aller voir les reverts précédents (j'en ai vu deux y en avait-il d'autres ?). Il est vrai que la deuxième preuve est plus "habituelle", mais la première est plus jolie. Je pense que le fait d'avoir ajouté Par unicité d'une telle écriture devrait suffire à régler le malentendu. C'est certainement ce qui n'avait pas été compris lors des reverts précédents.

j'ai essayé de rajouter ça ; les grincheux pourront toujours dire qu'l manque la précision entiers "positifs" quelque partPeps 10 octobre 2006 à 14:47 (CEST)

Je pensais bien faire en recopiant la preuve de mes cours (pour une fois j'aurais pu avoir un contribution libre sur cet article) mais bon, ca m'est égal... Rogilbert _@^@_@ 10 octobre 2006 à 17:17 (CEST)

[modifier] historique, une proposition

Une intro pour fixer les limites de la section, quelques compléments, précisions, ou corrections après avoir fait les recherches nécessaire pour Racine carrée (histoire). Frédéric Glorieux^discuter 15 octobre 2006 à 14:32 (CEST)

[modifier] Histoire

Article détaillé : Racine carrée (histoire).

L'histoire de √2 commence à Babylone (-1600~-1800) et se termine en Occident avec la Construction des nombres réels (1872) et les algorithmes de calcul pour les ordinateurs. Les premières traces de ce nombre (Babylone, Inde védique), n'ont pas de postérité attestée (pour l'instant). La question a eu ensuite une tradition continue depuis la Grèce antique : monde arabe, Algèbre, Nombre réel. √2 pose le problème d'une synthèse entre la Géométrie (Théorème de Pythagore) et l'Arithmétique (nombre rationnel), et des algorithmes nécessaires à son approximation (méthode de Héron). Cette section insistera sur la genèse du problème, jusqu'à sa formulation claire pour la tradition occidentale.

[modifier] Babylone

Schéma de la tablette YBC 7289.

Article détaillé : YBC 7289.

La première représentation connue de √2 date du début du II^e millénaire av. J.-C.. Il apparaît sur la tablette babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100. Il s'agit du tracé d'un carré avec ses diagonales, avec les mesures des segments et accompagné d'une valeur approchée de √2 écrite en système sexagésimal cunéiforme :

ce qui signifie très probablement 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ — l'absence de zéro et de virgule dans la numération babylonienne rend la notation positionnelle ambiguë — soit environ 1,41421296. Il s'agit d'une valeur approchée au six dix-millionièmes de √2, ce qui indique qu'elle avait été obtenue de manière algorithmique, car une telle précision de mesure n'était pas à leur portée technique. La définition de la méthode pour obtenir cette valeur n'est pas encore établie avec certitude^[1]. On suppose l'application d'une forme de la méthode de Héron adaptée au système sexagésimal (attestée par ailleurs sur d'autres approximations), mais pour obtenir un calcul juste, il faut aussi introduire d'autres approximations, et peut-être des erreurs de calcul.

[modifier] Inde védique

Article détaillé : Mathématiques indiennes.

On peut trouver dans le Śulbasutra de Baudhayana une approximation de √2 antérieure au V^e siècle av. J.-C. ^[2]. La citation exacte est :

« qu'on augmente le côté du carré d'un tiers et cela de son quart diminué du trente-quatrième de lui-même »

$\sqrt2 \approx 1 + \frac{1}{3} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} - \frac{1}{3}.\frac{1}{4}.\frac{1}{34}$

= 1,414215... (précision à 5 décimales)

La formule est volontairement présentée de manière à laissé supposer un algorithme. Il a été reconstruit^[3], mais les textes conservés ne permettent pas d'en trouver l'exposition (encore moins la démonstration).

[modifier] Grèce antique

Articles détaillés : mathématiques de la Grèce antique et École pythagoricienne.

Pour la Grèce antique, les mathématiques sont un enseignement oral, qui s'aide de figures. Les textes ne donnent parfois que peu d'indices. Mais ils sont suffisants pour affirmer que l'irrationnalité de √2 est non seulement connue, mais prouvée ; et que des algorithmes ont pu être conçus pour approcher sa valeur.

Les pythagoriciens attribuèrent une grande importance à la notion de grandeurs commensurables et s'y tinrent longtemps comme à un principe philosophique. Ils ne pouvaient concevoir qu'un nombre ne soit pas un rapport d'entiers, le rapportant le plus souvent à des figures géométriques. Mais d'après Aristote (IV^e siècle av. J.-C.), ce sont les pythagoriciens eux-mêmes qui démontrèrent pour la première fois que √2 est irrationnel, à la fin du V^e siècle av. J.-C., à savoir qu'il ne peut s'écrire comme le rapport de deux grandeurs commensurables.

L'attribution de cette démonstration repose sur des traditions beaucoup plus tardives (Néoplatonisme, IIIe siècle), sans aucune certitude possible. Il s'agit peut-être de Pythagore, ou d'un de ses disciples. Une légende rapporte que, parce que contraire aux pensées de Pythagore sur le caractère absolu des nombres, la découverte d'un nombre irrationnel jeta un trouble au sein de l'école et la démonstration fut dissimulée. Hippase de Métaponte aurait été banni de la communauté pour avoir révélé l'existence de cette démonstration, et de désespoir, se jeta à la mer. Platon rapporte dans son Théétète, que Théodore utilisait une méthode générale pour démontrer l'incommensurabilité à un des racines carrées de 3, 5, ... 17 mais sans l'exposer. Aristote fournit l'indice d'une démonstration dans son livre de logique, les Analytiques Postérieurs I : « la diagonale du carré est incommensurable à ses côtés, ou cela supposerait que les nombres impairs soient pairs ». Une autre démonstration se trouve dans le livre 10 des Éléments d'Euclide et repose sur la méthode d'antiphérèse, aussi appelée méthode de soustraction réciproque.

L'astronome néo-platonicien Théon de Smyrne (IIe siècle) semble connaître une méthode d'approximation . Enfin, Diophante (v. IIIe siècle) doit supposer que les rationnels et les irrationnels (dont √2) sont de même nature, afin de pouvoir résoudre les équations qui portent son nom.

[modifier] Monde Arabo-musulman

J'ai fait une tentative pour compléter ce paragraphe à partir des données de wikipedia. Si quelqu'un veut bien relire... v_atekor 17 octobre 2006 à 12:54 (CEST)

Salut, je crois que cet énoncé « introduisent la notation algébrique » peut porter à confusion. Il introduit l'idée de l'inconnue, mais sous forme verbale, pas comme les notations que nous connaissons, qui commencent à être définie à la Renaissance.

Personnellement je pense que l'historique de cet article peut s'arrêter aux grecs, c'est l'objet de la proposition plus haut.

Tout à fait. Après la période de découverte grècque, les propriétés sont connues. Il faudrait sans doute le préciser et explique pourquoi les civilisations postèrieures à Athène ne sont pas citées.v_atekor 18 octobre 2006 à 12:27 (CEST)

J'ai essayé un petit paragraphe en introduction de la section #Histoire plus haut, n'hésite pas à le mettre dans tes mots. La même chose peut-être faite pour les autres sections. Tu remarqueras que cela corrige pas mal d'imprécisions. Par exemple, il n'y a aucune preuve que les babyloniens ait utilisé la méthode de Héron pour obtenir leur approximation de √2. D'après ce que j'ai lu on n'a pas encore reconstitué l'exact calcul. Des méthodes d'approximation peu algorithmique par essai et erreur ne sont pas exclues. Pour l'Inde, c'est plus intéressant, il y aurait un algorithme exact, mais l'article qui en parle est pour moi difficile à suivre. -- Frédéric Glorieux^discuter 18 octobre 2006 à 12:58 (CEST)

Racine carrée (histoire) développera plus sérieusement le sujet (pour Racine carrée aussi) jusque la construction des réels. Ceci dit, c'est juste pour en finir vite avec l'historique, pour ne pas retarder le vote AdQ, mais si quelqu'un a envie de poursuivre.

Par contre, il y a vraiment des imprécisions à corriger pour les grecs. La proposition plus haut n'est pas mise dans l'article, parce que je suis littéraire. Je souhaite aider, mais j'ai une forte tendance à faire des phrases compliquées.

Frédéric Glorieux^discuter 18 octobre 2006 à 09:31 (CEST)

[modifier] Protection

Je ne comprends pourquoi ce texte ne serait pas protéger ; n'importe quel abruti peut vous faire perde votre temps ou glisser des inepties et vous obliger à surveiller votre texte comme l'huile sur le feu. Je n'y connais rien ou pas grand chose en mathématiques et je pourrais y écrire n'importe quoi ou presque. Il me semble que disposer d'une rubrique (Commentaires) adjacente à votre article serait Bienvenu(e).

Cordialement

--Ajurna 17 octobre 2006 à 23:18 (CEST)

Le principe de Wikipédia est la libre contribution. Comme il y a nettement plus de contributeurs sérieux que de « vandales » ou d'« incompétents qui s'y croient » l'article est rapidement restauré à sa version antérieure en cas de modification farfelue. Ça prend quelques clics pour le faire. Sauf sur les articles les plus exposés (politique par exemple) où une semi-protection est mise en place. — Régis Lachaume ✍ 17 octobre 2006 à 23:35 (CEST)

[modifier] Notes

↑ (en) [pdf]Eleanor Robson & David Fowler, Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289 in context, Historia Mathematica, 25, pp. 366-378, 1998.
↑ Voir (fr) Quelques aspects arithmétiques du commentaire de Dvarakanatha sur la géométrie du Sulbasutra, Jean-Michel Delire, Oriens-Occidens, n°4 (2002) (fr) La Diagonale du carré, 5.2
↑ (en) Square Roots in the Sulbasutra, David W. Henderson

[modifier] Proposition d'article de qualité refusée le 21 octobre 2006

Cet article a été proposé comme article de qualité, mais ne satisfaisait pas dans sa version du 21 octobre 2006 (historique) les critères de sélection. Si vous désirez reprendre l'article pour l'améliorer, vous trouverez les remarques que firent les wikipédiens dans la page de vote.

[modifier] Prochaine demande d'accéder à article de qualité

J'ai constaté qu'il n'y avait pas mobilisation pour voter et c'est dommage, cet article est très valable ! Néanmoins, pour augmenter les chances, la prochaine fois qu'il y a votation, n'oubliez pas de me le signaler et penser à faire une campagne électorale notamment en envoyant un message à tous ceux qui ont placé dans le page perso la boîte utilisateur "j'adore les math" (ou quelque chose du genre).

Ceci étant posé, j'ai un petit cadeau pour parfaire cet article. je sais que ça ne sert à rien, mais c'est pour la beauté de la chose !

[modifier] 1000 premières décimales de racine carrée de 2

[modifier] 10.000 premières décimales de racine carrée de 2

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766
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Voilà…--Sonusfaber 26 octobre 2006 à 23:38 (CEST)

Tiens, il y a mon n° de carte bancaire dedans. ;-) -- El Caro ^bla 27 octobre 2006 à 16:24 (CEST)

[modifier] unicode c'est beau !

je trouve les formules LaTex tellement moches que je cherche toujours une solution unicode.

A titre d'information, les signes unicodes (qu'a priori aujourd'hui tout le monde doit pouvoir visualiser) sont nombreux et intéressant à exploiter. Par exemple il y a des fraction toutes faites. La formule x³ + x² + 1/3 = 0 nécessite plein de codes cachés (''x''<sup>3</sup> + ''x''<sup>2</sup> + 1/3=0) alors qu'en unicode, je vous la fais en direct :

x³ + x² + ⅓ = 0

Bien sûr on ne peut pas tout écrire en unicode, mais ça aide bien et quand on a les signes qu'il faut, ça fait un beau texte cohérent et harmonisé avec la police de caractère. LaTex ça fait des gros pâtés qui défigurent l'interlignage, c'est agaçant et dommage.--Sonusfaber 27 octobre 2006 à 00:10 (CEST)

Je me pose une question : comment se fait-il que les formules LaTeX soient aussi mal gérées dans les articles Wikipedia, alors que partout dans le vrai monde, LaTeX est au contraire la référence en matière de qualité de mise en page ? J'imagine que c'est un problème de logiciel Wikipedia, et que celui-ci pourrait être corrigé.

PAr ailleurs, quel est ce mystère des caractères unicode ? Comment utilise-t-on ça ?Salle 27 octobre 2006 à 15:34 (CEST)

LaTeX est la référence lorsqu'il gère tout le document. Ici, wikimedia envoie le code à un serveur qui convertit ce code en image (1er couac : pixellisation) pour ensuite être intégré dans une page HTML (2ème couac : le rendu dépend de la configuration). -- El Caro ^bla 27 octobre 2006 à 16:23 (CEST)

Pour unicode, si tu es sous linux, ça se gère tout seul en changeant la locale LC_LANG. Les caractères sont obtenus par composition (touche compose) ou changement dynamique de la configuration clavier (voir xkb). Sous windows, aucune idée, mais ça ne doit pas être beaucoup plus compliqué, juste un peu plus bogué ;-) — Régis Lachaume ✍ 27 octobre 2006 à 16:38 (CEST)

Aide-mémoire :

Table des caractères Unicode
Aide:Unicode
Aide:Caractères spéciaux
Wikipédia:Unicode/Test (pour tester si votre navigateur affiche correctement les caractères unicode)

--Sonusfaber 28 octobre 2006 à 11:13 (CEST)

[modifier] Format A4 et référence au mètre

Suite à une remarque un peu tatillonne d'un lecteur (mais néanmoins recevable) , faut-il parler de format A4 pour faire référence à la proportion des feuilles de papier de type $\sqrt{2}$ . En effet, celle-ci existait avant la définition du mètre et donc du A4 ( ou An) contemporain. Pour info.--VARNA 20 décembre 2006 à 19:16 (CET)

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../r/a/c/Discuter%7ERacine_carr%C3%A9e_de_deux_e812.html »

Catégories : Article de mathématiques d'avancement A • Article de mathématiques d'importance faible