אנליזה מרוכבת
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
אנליזה מרוכבת היא ענף של המתמטיקה העוסק בחקר פונקציות הולומורפיות, כלומר פונקציות המוגדרות על פני המישור המרוכב (פונקציות מרוכבות), מקבלות ערכים מרוכבים, ודיפרנציאביליות. דיפרנציאביליות מרוכבת בעלת השלכות גדולות יותר מאשר דיפרציאביליות ממשית. לדוגמה, כל פונקציה הולומורפית מיוצגת על ידי טור חזקות בכל דיסקה פתוחה, ולכן הינה אנליטית. בפרט, פונקציות הולומורפיות גזירות אינסוף פעמים, עובדה שאינה נכונה בהכרח עבור פונקציות ממשיות. רוב הפונקציות האלמנטריות, כגון: פולינומים, פונקציות מעריכיות והפונקציות הטריגונומטריות, הן פונקציות הולומורפיות.
[עריכה] הישגים עיקריים
אחד הכלים המרכזיים באנליזה מרוכבת הוא האינטגרל המסילתי. אינטגרל על מסילה סגורה של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום פשוט קשר, יהיה שווה תמיד ל-0. (משפט זה ידוע כמשפט אינטגרל קושי). ערך של פונקציה הולומורפית בתוך דיסקה ניתן לחישוב על ידי שימוש בנוסחת אינטגרל קושי. אינטגרלים מסילתיים משמשים לעתים קרובות כאמצעי לחישוב אינטגרלים ממשיים (למשל על ידי משפט השאריות). ההתנהגות הבלתי רגילה של פונקציה הולומורפית ליד נקודות הסינגוליות שלה מתוארת על ידי משפט קאסוראטי-ויירשטראס. פונקציות שהנקודות הסינגולריות שלהן הן או קוטב או נקודת סינגולריות סליקה נקראות פונקציות מרומורפית. טורי לורן דומים מאוד לטורי טיילור, אך שונים מהם בכך שהם מאפשרים לחקור את התנהגות הפונקציה סמוך לנקודות הסינגולריות שלה.
משפט חשוב נוסף הוא: פונקציה הולומורפית החסומה בכל המישור המרוכב בהכרח פונקציה קבועה (משפט ליוביל). שימוש נחמד למשפט זה הוא הוכחה קצרה של המשפט היסודי של האלגברה, הטוען ששדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית.
תכונה חשובה נוספת של פונקציות הולומורפיות היא שערכים של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום פשוט קשר נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת בתת-תחום(תחום המוכל בתחום המקורי). נוכל לומר שהפונקציה המוגדרת על התחום המקורי אנליטית אם היא אנליטית בתת-תחום. עובדה זו מאפשרת להרחיב הגדרה של פונקציות, כגון: פונקציית זטא של רימן.
תחום חשוב נוסף באנליזה מרוכבת הוא משטחי רימן.
[עריכה] היסטוריה
אנליזה מרוכבת היא אחד מענפי המתמטיקה שפותחו במהלך (מקצתה גם לפני) המאה ה-19. בין מפתחי האנליזה המרוכבת נמנים: אוילר, גאוס, רימן, קושי, ויירשטראס, ועוד מספר חוקרים במהלך המאה ה-20. לאנליזה המרוכבת שימושים רבים בתחומי ההנדסה השונים, כמו גם שימושים תיאורטיים בחקר תורת המספרים. בתקופה המודרנית הפכה האנליזה המרוכבת לפופולרית בעקבות תמונות פרקטלים הניתנים לבניה על ידי שימוש בחזרות של פונקציות הולומורפיות, המפורסמת שבהם היא סדרת מנדלברוט. יישום חשוב נוסף של האנליזה המרוכבת נעשה בתורת המיתרים (פיזיקה).
