התפלגות מקסוול בולצמן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מקסוול בולצמן
פונקציית צפיפות ההסתברות

פונקציית ההסתברות המצטברת

מאפיינים
פרמטרים	a
תומך	$\ \Bbb{R}^+$
פונקציית צפיפות ההסתברות (pdf)	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{a^3} e^{\frac{-x^2}{2a^2}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a}$
תוחלת (ממוצע)	$\mu= \sqrt{\frac{8a^2}{\pi}}$
חציון
ערך שכיח	$\sqrt{2a^2}$
שוֹ‏נוּ‏ת	$\sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}$
סטיית תקן	$\sqrt{\sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}}$
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)
צידוד
גבנוניות

התפלגות מקסוול בולצמן היא התפלגות המשמשת בפיזיקה ובכימיה לתיאור התפלגות גודל של וקטור, שכל אחד מרכיביו מתפלג באופן נורמלי ובלתי תלוי. השימוש הנפוץ ביותר שלה הוא תיאור התפלגות המהירויות של חלקיקים בגז אידאלי אך היא יכולה לתאר, בשינוי הפרמטרים כמובן, גם את התפלגות התנע או האנרגיה שלהם, למשל.

ההתפלגות קרוייה על שם הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול והפיזיקאי האוסטרי לודוויג בולצמן.

באופן פורמלי, אם $\ X$ הוא משתנה מקרי וקטורי, כך שרכיביו $\ X_1, X_2, X_3$ מתפלגים נורמלית בסטיית תקן $\ a$ אז המשתנה המקרי $\ Z$ המוגדר $\ Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}$ מתפלג בהתפלגות מקסוול בולצמן עם פרמטר $\ a$ . במקרה זה, $\ (Z/a)^2$ מתפלג התפלגות חי-בריבוע עם שלוש דרגות חופש.

נוסחת צפיפות ההסתברות הכללית להתפלגות מקסוול בולצמן מובאת בטבלה, אך לרוב משתמשים בוואריאציה המתארת את התפלגות גודל המהירות בגז אידאלי:

$F(v) = 4 \pi v^2 \left( \frac{m}{2 \pi kT} \right)^{3/2} \exp \left( \frac{-mv^2}{2kT} \right)$

[עריכה] שימושים

התפלגות מקסוול בולצמן מהווה את היסוד לתיאור תופעות מקרוסקופיות של של גז, כגון טמפרטורה, לחץ, או דיפוזיה, לדוגמה. ניתן להסיק את ההתפלגות תוך שימוש בכלים של מכניקה סטטיסטית בהנחות שהגז בנוי מכמות גדולה של כדורים קשיחים שאינם משפיעים אחד על השני פרט להתנגשויות, ובהזנחת אפקטים קוונטים. הנחות אלה הן קירוב טוב להתנהגות של גזים אמיתיים בתנאים רגילים - לחצים נמוכים וטמרפטורות נמוכות. ואכן, מדידות מראות התאמה טובה מאוד של התפלגות המהירויות לצפי התיאורטי בתנאים רגילים.

[עריכה] התפלגויות נוספות

עבור המהירות כוקטור (velocity) ההתפלגות היא:

$f_v (v_x, v_y, v_z) = \sqrt{ \left(\frac{m}{2 \pi kT} \right)^3} \exp \left[ \frac{-m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT} \right]$ .

ניתן גם להסיק מתוך התפלגות מקסוול בולצמן של המהירויות את התפלגות האנרגיה. נביא כאן דוגמה לחישוב עבור גז המכיל רק חלקיקים מסוג אחד, כלומר, שלכל החלקיקים אותה המסה. אם ההסתברות למצוא מולקולה בטווח מהירויות $\ V$ עד $\ V+\Delta V$ היא