Распределение Максвелла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Функция плотности распределения

Распределение Ма́ксвелла — распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы, где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение об применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая Де-Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов.

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

$\frac {N_i} {N} = \frac {\exp\left (-E_i/kT \right)} {\sum _ {j} ^ {} {\exp\left (-E_j/kT\right)}} \qquad\qquad (1)$ ,

где N_i является числом молекул имеющих энергию E_i при температуре системы T, N является общим числом молекул в системе и k, — постоянная Больцмана. (Отметьте, что иногда вышеупомянутое уравнение записывается с множителем g_i обозначающим степень вырождения энергетических уровней. В этом случае сумма будет по всем энергиям, а не всем состояниям системы). Поскольку скорость связана с энергией, уравнение (1) может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель в уравнении (1) известен как каноническая статистическая сумма.

Содержание

1 Распределение Максвелла
2 Характерная скорость
- 2.1 Наиболее вероятная скорость
- 2.2 Средняя скорость
3 См. также

[править] Распределение Максвелла

[править] Распределение по вектору импульса

Представленное ниже, очень сильно отличается от вывода, предложенного Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом.

В случае идеального газа состоящего из невзаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом

$E =\frac {p^2} {2m}$ ,

где p² — квадрат вектора импульса p=[p_x,p_y,p_z].

Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:

$\frac {N_i} {N} = \frac {1} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (3)$ ,

где Z — статсумма, соответствующая знаменателю в уравнении (1), m — молекулярная масса газа, T — термодинамическая температура, и k — постоянная Больцмана. Это распределение N_i /N пропорционально функции плотности вероятности f_p нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:

$f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_x) = \frac {c} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (4)$

константа нормировки c, может быть определена из того факта, что вероятность молекулы имеють какой-либо импульс должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям p_x, p_y, и p_z должен быть равен единице. Можно показать, что:

$\int _ {-\infty} ^ \infty \int _ {-\infty} ^ \infty \int _ {-\infty} ^ \infty \frac {1} {Z} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \, dp_x \, dp_y \, dp_z = \frac {1} {Z} \left (2\pi m kT \right) ^ {3/2} \qquad\qquad (5)$ .

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы

$c = \frac {Z} {(\sqrt {2 \pi mkT}) ^ 3} \qquad\qquad (6)$ .

Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что p_i = mv_i, мы получим

$f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_x) = \sqrt {\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^3} \exp \left [\frac {-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} {2mkT} \right] \qquad\qquad (7)$ .

[править] Распределение по вектору скорости

Учитывая, что плотность распределения по скоростям f_v пропорциональна плотности распределения по импульсам:

$f_\mathbf {v} d^3v = f_\mathbf {p} \left (\frac {dp} {dv} \right) ^3 d^3v$

и используюя p = mv мы получим:

$f_\mathbf {v} (v_x, v_y, v_z) = \sqrt {\left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^3} \exp \left [\frac {-m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} {2kT} \right] \qquad\qquad (8)$ ,

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе [dv_x, dv_y, dv_z] около скорости v = [v _x , v _y , v _z ] равна

$f_\mathbf {v} \left (v_x, v_y, v_z\right) dv_x dv_y dv_z$

[править] Распределение по абсолютной величине импульса

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса

$f_p = \int _ {\theta=0} ^ {\pi} \int _ {\phi=0} ^ {2\pi} ~ f_\mathbf {p} p^2 \sin (\theta) \, d\theta \, d\phi=4\pi\sqrt {\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^3} ~p^2 \exp \left [\frac {-p^2} {2mkT} \right]$

[править] Распределение по энергии

Наконец, используя соотношение p² = 2 mE мы получаем распределение по энергии:

$f_E=f_p\left (\frac {dp} {dE} \right) \, dE =2\sqrt {\frac {E} {\pi (kT) ^3}} ~ \exp\left [\frac {-E} {kT} \right]$

[править] Распределение по проекции скорости

Распределение Максвелла для вектора скорости [v_x, v_y, v_z] — является произведением распределений для каждого из трех направлений:

$f_v \left (v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x) f_v (v_y) f_v (v_z)$ ,

где распределение по одному направлению:

$f_v (v_i) = \sqrt {\frac {m} {2 \pi kT}} \exp \left [\frac {-mv_i^2} {2kT} \right] \qquad\qquad (9)$

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

[править] Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

$v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \qquad\qquad (10)$

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все v_i распределенны нормально, то v² будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если f(v) — функция плотности вероятности для модуля скорости, то:

$f\left (v\right) dv = P (\chi^2|3) d\chi^2$ ,

где

$\chi^2 = \frac {mv^2} {kT}$

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

$f (v) dv = 4 \pi v^2 \left ( \frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2} \exp \left (\frac {-mv^2} {2kT} \right) dv \qquad\qquad (11)$

[править] Характерная скорость

Хотя Уравнение (11) дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.

[править] Наиболее вероятная скорость

наиболее вероятная скорость, v_p — вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению f(v). Чтобы найти её, необходимо вычислить df/dv, приравняит её нулю и решить относительно v:

$\frac {df (v)} {dv} = \left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2} \exp \left (-mv^2/2kT \right) \left [8\pi v + 4 \pi v^2 (-mv/kT) \right] = 0\qquad\qquad (12)$