Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja i założenia
2 Inne formy rozkładu
3 Średnie szybkości cząsteczek gazu
4 Zastosowania
5 Przykładowe wykresy
6 Inne

[edytuj] Definicja i założenia

Rozkład Maxwella-Boltzmanna podaje jaki ułamek ogólnej liczby cząsteczek gazu doskonałego porusza się w danej temperaturze z określoną szybkością - zależność ta ma charakter gęstości prawdopodobieństwa. Założeniem jest równowaga termiczna gazu.

$f(v) = \frac{dP}{dv} = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} \exp\left( - \frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{k T}\right)$

gdzie:

$v$ - szybkość cząsteczki gazu
$m$ - masa cząsteczki gazu (m = M/N_A, gdzie M - masa molowa gazu, N_A - stała Avogadra)
$k$ - stała Boltzmanna, k = R/N_A (R - (uniwersalna) stała gazowa, N_A - stała Avogadra)
$T$ - temperatura

oraz warunek normalizacji funkcji rozkładu (prawdopodobieństwo $P \in <0,1>$ ):

$\int\limits_{0}^{\infin} f(v) dv = 1$

[edytuj] Inne formy rozkładu

Funkcję rozkładu można również napisać w formie zależnej od stosunku energii kinetycznej cząsteczek gazu do (kT):

$f(v) = \frac{dP}{dv} = 4 \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{1/2} \left(\frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{kT}\right) \exp\left( - \frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{k T}\right)$

skąd

$f(v) = \frac{dP}{dv} = 4 \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{1/2} \left(\frac{E_{kin}}{kT}\right) \exp\left( - \frac{E_{kin}}{k T}\right)$

gdzie:

$E_{kin} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}$ - energia kinetyczna cząsteczki gazu

[edytuj] Średnie szybkości cząsteczek gazu

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Przykładowe wykresy

Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla tlenu. Wśród miliona cząsteczek n będzie poruszać się z prędkością v{m/s}. Na wykresie przestawiono liczbę cząstek dla trzech różnych temperatur (-100°C, temperatura pokojowa i 600°C)