ז'וזף לואי לגראנז'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ז'וזף-לואי לגראנז' (25 בינואר 1736 - 10 באפריל 1813) מתמטיקאי ואסטרונום איטלקי שחי מאוחר יותר בצרפת ובפרוסיה. לגראנז' עבד עבור פרידריך השני, בברלין, במשך עשרים שנה. על-שמו של לגראנז' נקראים משפט הערך הממוצע של לגראנז' בחשבון אינפיניטסימלי ומשפט לגראנז' בתורת החבורות.

לגראנז' נחשב למתמטיקאי צרפתי, אך האיטלקים טוענים כי הוא בעצם איטלקי, ויש צדק מסוים בטענתם. למשפחתו של לגראנז' יש ענף איטלקי גדול, ולגראנז' עצמו נולד בעיר טורינו שבאיטליה, שם היה אביו פקיד בכיר בחצר מלך סרדיניה. למרות מעמדו הבכיר של האב, המשפחה לא הייתה עשירה, עקב הפסדים כספיים כבדים שנחל האב בהשקעות לא מוצלחות. אך ההסתבכות הפיננסית הועילה לעולם המתמטיקה, שכן כעבור שנים אמר לגראנז': "לו הייתי עשיר, לא הייתי מקדיש את חיי למתמטיקה".

לגראנז' היה גם מחלוצי המכניקה האנליטית כאשר פיתח פורמליזם חזק ואלגנטי יותר לחוקי ניוטון המתבסס על חשבון וריאציות. על שמו קרויים הלגראנז'יאן ומשוואות אוילר-לגראנז'. על יסוד עבודתו, פיתח ויליאם רואן המילטון את המכניקה ההמילטוניאית שהייתה אבן דרך חשוב בניסוח מתקדם של חוקי הפיזיקה.

תוכן עניינים 1 ביוגרפיה 1.1 השנים הראשונות 1.2 Miscellanea Taurinensia 1.3 בעיות בריאות 1.4 חצר המלך 2 עבודות 2.1 אלגברה 2.2 תורת המספרים 2.3 שונות 2.4 אסטרונומיה 3 קישורים חיצוניים

[עריכה] ביוגרפיה

[עריכה] השנים הראשונות

לגראנז' נולד בשם ג'וזפה לודוביקו לגראנג'ה (Giuseppe Lodovico Lagrangia) בטורינו. אביו, אשר היה מופקד על אוצר צבא סרדיניה, היה אמיד ובעל מעמד חברתי גבוה, אך עוד לפני שבנו התבגר, הוא איבד מרבית רכושו בספקולציות, ולגראנז' הצעיר נאלץ לסמוך על יכולותיו שלו. הוא התחנך במכללה של טורינו, ורק כאשר מלאו לו שבע-עשרה שנה החל להראות סימני עניין במתמטיקה. עניינו בנושא התעורר בעקבות דיווח של אדמונד האלי אשר בו נתקל במקרה. ללא עזרה ובודד השליך עצמו ללימודי מתמטיקה; בסוף שנה של לימודים בעמל רב ורצוף הוא כבר היה מתמטיקאי מוצלח ונעשה מרצה בבית הספר לארטילריה.

לגראנז' לא למד מתמטיקה באופן מסודר, והדבר ניכר במאמר הראשון שחיבר, בהיותו בן תשע-עשרה שנה, שעסק באנלוגיה בין משפט הבינום ובין הנגזרות של מכפלות פונקציות. הוא אף העז ושלח את מאמרו ללאונרד אוילר.זמן קצר לאחר מכן, גילה כי התוצאה אליה הגיע כבר הופיעה בהתכתבות בין לייבניץ ויוהן ברנולי. חרף התחלה בלתי מרשימה זו, הוא המשיך לעסוק במחקר, וב-1754 מצא פתרון לבעיית ההיקף הקבוע, שהייתה נושא לדיון במשך כחצי מאה. שוב שלח את עבודתו לאוילר.

אוילר זיהה את הכלליות של השיטה שבה השתמש לגראנז' וכן את עליונותה על שיטתו; ובמחווה נדירה הוא עיכב מאמר שכתב לפני כן כדי שללגראנז' יהיה מספיק זמן להשלים את עבודתו, שמהווה בסיס לענף הידוע היום בשם "חשבון וריאציות". את השם לענף החדש במתמטיקה הציע אוילר. צעד זה הציב את לגראנז' בשורה הראשונה של המתמטיקאים בתקופתו.

[עריכה] Miscellanea Taurinensia

ב-1755 מונה לגראנז' לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטה של טורינו, והוא בן 19 בלבד. כעבור זמן קצר הוצעו לו משרות אקדמיות יוקרתיות יותר, אך הוא העדיף להישאר בעיר מולדתו, שם הייתה לו האפשרות לעסוק במתמטיקה בשלווה. במשך השנים הבאות פרסם שורה של מאמרים חשובים בתחומים שונים במתמטיקה ובפיזיקה.

בשנת 1758, בעזרתם של תלמידיו, ייסד לגראנז' חברה, שלאחר מכן אוחדה לאקדמיה של טורינו, ומרבית מכתביו המוקדמים נמצאים בחמשת הכרכים הראשונים של פעולותיה, אשר נקראים בשמם Miscellanea Taurinensia. רבים מהם הם מאמרים מדעיים סבוכים. בכרך הראשון נמצא מאמר בנושא התקדמות גלי קול; שם הוא מתקן טעות שנעשתה על ידי ניוטון, מקבל את המשוואה הדפרנציאלית הכללית של התקדמות הקול בחומר (משוואת הגלים) ואף פתרון שלה עבור תנועה בקו ישר. בספר זה הוא גם נותן פתרון מלא לבעיית המיתר המוחזק בקצותיו. במאמר זה הוא מצביע על חוסר כלליות בפתרונות של טיילור, ד'אלמבר ואוילר ומגיע למסקנה שצורת המיתר בכל רגע נתון t נתונה על ידי . המאמר מסיים בדיון בהדים, פעימות וצלילים מורכבים. מאמרים אחרים בכרך זה הם על סדרות מתכנסות, הסתברות ועל חשבון וריאציות.

הכרך השני מכיל מאמר ארוך שמכיל תוצאות של כמה מאמרים מהראשון על תורת הסימונים בחשבון הווריאציות והוא גם מראה את שימושו על ידי הסקה של עקרון הפעולה המינימלית ועל ידי פתרון של כמה בעיות בדינמיקה.

הכרך השלישי מכיל פתרונות של כמה בעיות בדינמיקה בדרך של חשבון וריאציות, כמה מאמרים על חשבון אינטגרלי, פתרון לבעיה שהציג פרמה שהיא מציאת מספר כך ש- יהיה ריבוע שלם, כאשר הוא שלם נתון שאיננו ריבוע, וגם את המשוואות הדיפרנציאליות של תנועת שלושה גופים הנעים תחת השפעת משיכה הדדית.

[עריכה] בעיות בריאות

בשנת 1761 עמד לגראנז' כמתמטיקאי הגדול ביותר שחי בתקופה; אך המאמץ הבלתי פוסק של תשע השנים שחלפו השפיע רבות על בריאותו ורופאיו לא הסכימו להיות אחראיים יותר לבריאותו אם לא יקח הפסקה ויתאמן. למרות שבריאותו הוטבה באופן זמני, עצביו מעולם לא חזרו לתקנם, והוא סבל מהתקפות של מלנכוליה.

עבודתו הבאה שעשה ב־1764 על תנודות הירח (ליברציה) וההסבר מדוע אותן פנים של הירח תמיד פונות לכדור הארץ, בעיה שהוא פתר בעזרת עבודה וירטואלית. הפתרון שלו מעניין במיוחד כיוון שהוא מכיל את תחילת הרעיון של משוואות תנועה כללית, אותן הוא ניסח לראשונה באופן פורמלי ב־1780.

[עריכה] חצר המלך

לגראנז' החל בנסיעה ללונדון, אך נפל למשכב בפריז. הוא התקבל שם בכבוד רב, ובצער רב כשנאלץ לעזוב את החברה המבריקה של עיר זו ולחזור לחיים הפרובינציאליים של טורינו. אף על פי כן, המשך שהייתו בפיידמונט הייתה קצרה. ב-1766 כתב לו פרידריך הגדול שהוא, "המלך הגדול של אירופה", מעוניין לארח אותו, "המתמטיקאי הגדול של אירופה", בחצרו. לגראנז' הסכים להצעתו ובילה את עשרים השנים הנותרות בפרוסיה, שם הוא חיבר מספר רב של מאמרים שפורסמו בברלין ובטורינו ואת עבודתו המונומנטלית - מכניקה אנליטית ( Méchanique Analytique).

בברלין, החליף לגראנז' את אוילר כראש המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברלין. שם המשיך בעבודתו בעיקר בתחום האסטרונומיה, וזכה במספר פרסים חשובים על עבודותיו. עם זאת עסק גם בתחומים אחרים. הוא הוכיח מספר משפטים חשובים בתורת המספרים, וביניהם משפט ארבעת הריבועים, האומר כי כל שלם חיובי הוא סכום של ארבעה ריבועים. הוא גם חקר משוואות ממעלה רביעית, והראה מדוע משוואות אלה ניתנות לפתרון בעזרת שרשים. עבודה זו מהווה את הבסיס לתורת החבורות.

לגראנז' היה חביב המלך, שהיה משוחח עמו רבות על היתרונות של חיים רגילים. את הלקח לגראנז' למד, ומאז למד את נפשו ואת גופו כשם שהיו מכונות, ומצא בדרך של ניסוי את כמות העבודה שהוא מסוגל לעשות מבלי להישבר. בכל לילה היה שם לעצמו מטרה ממשית ליום המחרת, ובסיום כל ענף בנושא שכתב, היה כותב סיכום כדי לראות אילו נקודות בהדגמה או בחומר היו ניתנות לשיפור. הוא תמיד חשב על נושא המאמרים שלו עד הסוף והיה כותב אותם ללא מחיקות כלל.

במשך שנותיו בברלין מצבו הבריאותי של לגראנז' הדרדר, ומצבה של רעייתו אף היה חמור יותר. לאחר מותה ב-1783 שקע לגראנז' בדיכאון, ושהותו בברלין שוב לא הייתה מאושרת כמקודם.

אוניברסיטאות רבות ניסו לפתותו לשוב לאיטליה, אך ב-1787 החליט לעבור דווקא לפריז, שם הוצעה לו באקדמיה למדעים משרה שלא כללה חובת הוראה. הוא בילה שם את שארית הקריירה שלו, ואף שרד את המהפכה הצרפתית, הודות לאופיו הקונפורמיסטי וכן הודות לעובדה שהשלטונות הצרפתים עצמם היו מעוניינים לשמור על שלומו, ופטרו אותו ממספר גזירות שהוטלו על נתינים זרים. הוא המשיך בעבודתו, ופרסם מספר ספרים שסיכמו את תרומותיו למדע. נפוליאון העניק לו את אות לגיון הכבוד, וכן תואר אצולה.

לגראנז' מת בפריז ב-10 באפריל 1813. זכרו מונצח בלוח הזיכרון של מגדל אייפל, ועל שמו נקראים רחובות בפריז ובטורינו, אחד ממכתשי הירח, וכמובן משפטי לגראנז'.

[עריכה] עבודות

פעילויות המחשבה שלו בזמן אותן עשרים שנה היו יוצאות דופן. לא רק שהוא יצר את Méchanique Analytiaue אלא הוא אף תרם בין מאה למאתיים מאמרים לאקדמיות של ברלין, טורינו ופריז. כמה מהם הן למעשה עבודות מקיפות, וכולן ללא יוצא דופן בעלות מידה רבה של מצוינות. חוץ מתקופה קצרה בה היה חולה, אז הוציא בממוצע במאמר אחד בחודש. מבין אלו, העבודות הבאות חשובות במיוחד:

ראשית, תרומתו את הכרכים הרביעי והחמישי של הMiscellanea Taurinensia, 1766-1773 מבניהם החשוב מכולם הוא אחד ב־1771, בו הוא משוחח על מספר תצפיות אסטרונומיות שצריכות להיות משולבות כדי להשיג את התוצאה הסבירה ביותר. ומאוחר יותר, תרומתו של מאמר על לחץ שמפעילים נוזלים בתנועה, והשני על אינטגרציה בעזרת סדרות אינסופיות, וסוג הבעיות שבהן זה בר יישום.

רוב מאמריו שנשלחו לפריז היו על בעיות אסטרונומיות ומבין אלו יש לציין במיוחד את המאמר שלו על מערכת הירחים של צדק ב-1766, חיבורו על הבעיה התלת גופית ב-1772, עבודתו על המשוואה הסקולרית של הירח ב-1773 ואת עבודתו על הפרעות של שביטים ב-1778. אלה היו כולם כתובים על נושאים של האקדמיה הצרפתית, ובכל אחד ממקרים אלה הפרס ניתן לו.

[עריכה] אלגברה

אף על פי כן, רוב מאמריו בתקופה זו נתרמו לאקדמיה של ברלין. אחדים מהם עוסקים בשאלות באלגברה. בפרט:

• דיון על פתרון במספרים שלמים של משוואות בעלות אינסוף פתרונות (1769 ו־1770)
• מאמר בנושא תורת האלימינציה 1770
• מאמר על פתרון כללי למשוואה אלגברית מכל מעלה (1770, 1771); שיטה זו נכשלת במשוואות ממעלה גדולה מ-4
• פתרון המלא של משוואה בינומית מכל מעלה (נכלל במאמר לעיל)
• לבסוף, ב-1773, טיפולו בדטרמיננטות מסדר 2 ו־3.

[עריכה] תורת המספרים

חלק ממאמריו המוקדמים עוסקים בשאלות הקשורות בתורת המספרים. מבין אלו יצוינו:

• הוכחה שכל מספר שלם שאינו ריבוע ניתן להציג כסכום של שנים, שלושה או ארבעה ריבועים שלמים (משפט ארבעת הריבועים) (1770).
• הוכחה של משפט וילסון שאם ראשוני אז מתחלק ב- (1771).
• כתביו ב-1773, 1775 וב-1777, אשר מדגימים חלק מהתוצאות שהוזכרו על ידי פרמה ללא הוכחה.
• דרך למציאת הגורמים של מספרים מהצורה .

[עריכה] שונות

ישנם גם מספר מאמרים על נקודות שונות בגאומטריה אנליטית. בשנים שבין 1772 לבין 1785 הוא תרם מאמרים רבים אשר יצרו את המדע של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. חלק גדול מבין מאמרים אלו נאספו במהדורה השנייה של "חשבון אינטגרלי" של אוילר, אשר פורסם ב-1794.

מאמריו של לגראנז' בנושא המכניקה מוזכרים להלן.

[עריכה] אסטרונומיה

לבסוף, ישנם מספר מאמרים על מספר בעיות באסטרונומיה. מביניהן, החשובות ביותר הן:

• עבודה על המשיכה של אליפסואידים, 1773: מבוססת על עבודתו של מקלורין.
• עבודתו על תנודות הירח; כמו-כן יש לציין את הצגתו של רעיון הפוטנציאל. 1777.

[עריכה] קישורים חיצוניים

• ביוגרפיה של ז'וזף לואי לגראנז' באתר MacTutor