מבנה אלגברי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה מופשטת, מבנה אלגברי מורכב מקבוצה ומפעולה (או מפעולות) המוגדרת על איברי הקבוצה ומקיימת אקסיומות מסוימות. מבנים אלגבריים מדגימים את ההפשטה וההכללה שהם נשמת אפה של המתמטיקה. במסגרת הדיון במבנים אלגבריים נלקחים עצמים מתמטיים קונקרטיים, כגון המספרים השלמים או המספרים הממשיים, נבחנות תכונותיהם המופשטות ביותר, ותכונות אלה עוברות הכללה, כך שניתן לבחון באמצעותן מגוון רחב של עצמים מתמטיים שאף להם תכונות אלה. בדרך זו אפשר למקד את תשומת הלב בתכונות המהותיות של העצם שאותו חוקרים, ולקבל תוצאות כלליות שיהיו ישימות גם במקרים אחרים.

כאשר אין חשש לבלבול, המבנה האלגברי מזוהה עם הקבוצה. כך למשל, החבורה (1,*,G) קרויה בפשטות החבורה G.

מבנים אלגבריים ידועים (אחדים מהמושגים המופיעים להלן מוגדרים בערך פעולה בינארית):

מגמה: קבוצה עם פעולה בינארית יחידה
חבורה למחצה: מגמה אסוציאטיבית
מונואיד: חבורה למחצה עם איבר אדיש לפעולה.
חבורה: מונואיד שבו לכל איבר יש איבר הופכי.
חבורה אָבֶּלִית: חבורה חילופית, כלומר, פעולת הכפל מקיימת ab=ba.
חוג: חבורה קומוטטיבית ביחס לפעולה אחת ("חיבור") שמוגדרת פעולה נוספת ("כפל") על איבריה
שדה: חוג שבו האיברים שאינם 0 יוצרים חבורה אבלית כפלית

מבנים אחרים כוללים שני מרכיבים:

מודול מעל חוג - חבורה אבלית עם פעולת כפל ('כפל בסקלר') של אברי החוג באברי המודול.
מרחב וקטורי מעל שדה - מודול שהחוג מעליו הוא מוגדר הוא שדה.
אלגברה מעל חוג חלופי- מודול בעל מכפלה בילינארית.