אלגברה (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה אלגברה מעל חוג היא מודול מעל חוג חלופי ופעולה בינארית ("כפל") בילינארית בין שני איברים שהופכת את המודול לחוג.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 אסוציאטיביות
3 קבועי המבנה
4 דוגמאות
5 קבוצת יוצרים ואלגברות אפיניות
6 אברים אלגבריים ושלמים
7 אלגברות פשוטות
8 אלגברות של קבוצות
9 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

אלגברה היא מבנה אלגברי הכולל חוג $\ A$ ותת-חוג $\ C$ , כך ש- $\ C$ מוכל במרכז של $\ A$ . הגדרה שקולה: כאשר $\ C$ חוג קומוטטיבי, חוג $\ A$ המהווה מודול מעל $\ C$ , ומקיים $\ \alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)$ לכל $x,y \in A$ וסקלר $\ \alpha \in C$ , נקרא "אלגברה מעל $\ C$ ".

הדוגמה החשובה ביותר היא כאשר $\ C$ הוא שדה (ואז המודולים מעל $\ C$ הם מרחבים וקטוריים); מרחב וקטורי מעל שדה $\ C$ הוא אלגברה, אם מוגדרת בו פעולת כפל ההופכת אותו לחוג. במקרה כזה הממד של האלגברה הוא הממד שלה כמרחב וקטורי.

כפי שבאלגברה לינארית נוח לחקור את המרחבים הווקטוריים מעל שדה קבוע ואת הקשרים ביניהם, כך האלגברה המודרנית עוסקת במידה רבה בחקר תכונות של האלגברות השונות מעל חוג בסיס קבוע, ואת הקשרים ביניהן.

[עריכה] אסוציאטיביות

בדומה להגדרה של חוג, האלגברה $\ A$ היא 'אסוציאטיבית' אם $\ x(yz)=(xy)z$ לכל $\ x,y,z \in A$ . לרוב כוללים את דרישת האסוציאטיביות בהגדרה של אלגברה, ואז מגדירים בנפרד מבנה כללי יותר, אלגברה לא אסוציאטיבית, ללא האקסיומה הזו; כך אנו נוהגים בוויקיפדיה. מחברים אחרים אינם דורשים מאלגברה אסוציאטיביות, ואז משתמשים במונח 'אלגברה אסוציאטיבית' עבור אלגברות שכן מקיימות את תכונת האסוציאטיביות.

יש להדגיש שבלי שום קשר לאסוציאטיביות, ההגדרה של אלגברה $\ A$ מעל $\ C$ תמיד כוללת את הדרישה $\ \alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)$ לכל $\ x,y \in A, \alpha \in C$ .

[עריכה] קבועי המבנה

נניח ש- $\ A$ נפרשת כמודול על-ידי אברים $\ e_1,e_2,...$ . אז כדי להגדיר את הכפל ב- $\ A$ , מספיק להגדיר את המכפלה $\ e_i \star e_j = \sum_k \beta_{i,j}^k e_k$ (כאשר $\beta_{i,j}^k \in C$ ). הקבועים $\beta_{i,j}^k\in C$ נקראים קבועי המבנה של $\ A$ . אם $\ A$ הוא מודול חופשי (וזה תמיד כך אם $\ C$ שדה), אז אפשר לתרגם תכונות מסוימות של האלגברה (למשל: אסוציאטיביות) למשוואות על קבועי המבנה; כך אפשר לראות את כל האלגברות האסוציאטיביות מממד $\ n$ מעל שדה נתון כיריעה אלגברית מעל השדה.

[עריכה] דוגמאות

אם $\ K/F$ הרחבה של שדות (ראו תורת גלואה), אז $\ K$ הוא אלגברה מעל $\ F$ .
אוסף המטריצות הריבועיות בגודל $\ n\times n$ מעל שדה (או חוג) C מהוות אלגברה מעל C, כשהמכפלה היא המכפלה הרגילה של מטריצות.
חוג הפולינומים $\ C[x]$ הוא אלגברה מעל $\ C$ .
המרחב האוקלידי התלת-ממדי מהווה אלגברה מעל המספרים הממשיים כאשר המכפלה הווקטורית היא המכפלה.

[עריכה] קבוצת יוצרים ואלגברות אפיניות

כל תת קבוצה $S \subset A$ יוצרת את התת-אלגברה $\ C[S]$ , שאבריה מתקבלים מאברי S על-ידי חיבור, חיסור, כפל, וכפל בסקלרים מ- $\ C$ (זוהי תת-האלגברה הקטנה ביותר של $\ A$ המכילה את $\ S$ ). אם קיימת קבוצה סופית $\ S$ כך ש- $\ C[S] = A$ , אז $\ A$ נוצרת סופית או אפינית.

[עריכה] אברים אלגבריים ושלמים

כאשר $\ A$ אלגברה קומוטטיבית, אפשר לחקור את המבנה של האלגברה על-ידי סיווג האברים בהתאם לתכונות שלהם מעל $\ C$ . כך איבר $\ a\in A$ הוא 'אלגברי' אם הוא מקיים משוואה פולינומית עם מקדמים מ- $\ C$ , ו'אלגברי שלם' (או סתם 'שלם') אם הוא מקיים משוואה כזו שהמקדם המוביל שלה הוא 1. איברים שאינם אלגבריים נקראים איברים טרנסצנדנטיים; הטרמינולוגיה הזו מכלילה את הדוגמה של המספרים המרוכבים כאלגברה מעל השלמים (ראו מספר טרנסצנדנטי). אם $\ R$ אלגברה מעל $\ C$ שכל איבריה שלמים, אומרים ש- $\ R/C$ היא הרחבה שלמה.

משפט: אלגברה אפינית שהיא שדה מוכרחה להיות אלגברית (ואז היא בעלת ממד סופי).

משפט הנורמליזציה של נתר קובע שאם $\ A$ אלגברה אפינית מעל שדה $\ C$ , אז קיימת תת-אלגברה $\ R$ של $\ A$ שהיא שלמה מעל $\ C$ , כך ש- $\ A$ טרנסנצנדנטית מעליה (כלומר: האברים היחידים של $\ A$ שהם אלגבריים מעל $\ R$ הם אברי $\ R$ עצמם). מזה נובע שממד קרול של $\ A$ שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות שלה.

[עריכה] אלגברות פשוטות

המרכז של חוג (אסוציאטיבי) פשוט (עם יחידה) הוא תמיד שדה, ואז אפשר לראות בו אלגברה מעל המרכז. אלגברות פשוטות שהמרכז שלהן הוא שדה קבוע $\ F$ נקראות 'אלגברות פשוטות מרכזיות' מעל $\ F$ , ואלו הן אבני הבנין לתאוריה של אלגברות מעל $\ F$ . להרחבה בנושא, ראו חוגים עם חילוק.

[עריכה] אלגברות של קבוצות

אלגברות של קבוצות אינן אלגברות במובן שהוגדר לעיל; ראו טופולוגיה ובעיקר תורת המידה.

[עריכה] ראו גם

נושאים באלגברה מופשטת

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%9C/%D7%92/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%28%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99%29.html

קטגוריה: אלגברה