אנליזה וקטורית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אנליזה וקטורית הוא תחום של המתמטיקה העוסק באנליזה של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי. בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב- $\mathbb{R}^3$ , הוא המרחב האוקלידי התלת-ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר בפיזיקה.

[עריכה] פעולות בין וקטורים

כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה, יש להכיר את הווקטורים ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין סקלרים. פעולות אלה הן הרחבה של פעולות החיבור והכפל המוגדרות עבור מספרים ממשיים.

[עריכה] וקטורים

כל וקטור אפשר לכתוב בצורה $\ \vec{v}=(v_1,\dots,v_n)$ , כאשר המספרים $\ v_1,\dots,v_n$ הם הרכיבים או הקואורדינטות של $\ \vec{v}$ .

במרחב התלת-ממדי הווקטורים $\ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ מייצגים את וקטורי הבסיס הסטנדרטי, המתאימים למערכת הצירים הקרטזית. בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לוקטורים $\ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ בהתאמה.

[עריכה] חיבור

חיבור וקטורים: מחברים וקטורים לפי רכיבים: $\ (v_1,\dots,v_n)+(w_1,\dots,w_n)=(v_1+w_1,\dots,v_n+w_n)$ .

[עריכה] כפל

בניגוד לחיבור, יש כמה סוגים של פעולות כפל עבור וקטורים:

כפל בסקלר: אם $\ c\in \mathbb{R}$ הוא מספר ממשי ו- $\ \vec{v}$ וקטור, אז $\ c \vec{v}=(cv_1,\dots,cv_n)$ הוא הכפל של $\ v$ בסקלר $\ c$ .
מכפלה סקלרית (Dot product): המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי $\ (v_1,\dots,v_n)\cdot(w_1,\dots,w_n)=v_1w_1+ \dots + v_nw_n$ . מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני והזווית שביניהם.
מכפלה וקטורית (Cross product): במרחב התלת-ממדי $\ \mathbb{R}^3$ מוגדרת פעולה נוספת, הקרויה מכפלה וקטורית. המכפלה הווקטורית של שני וקטורים $\ \vec{v} , \vec{w}$ היא וקטור המאונך לשניהם, שאותו אפשר לחשב בעזרת הדטרמיננטה $(v_1,v_2,v_3)\times(w_1,w_2,w_3)= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ \end{vmatrix}$ .

שתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד-1 מתכנסות לכפל הרגיל.

[עריכה] הטופולוגיה של המרחב האוקלידי

כדי שנוכל לדבר על אנליזה מתמטית במרחב האוקלידי $\ \mathbb{R}^n$ עלינו להיות מצוידים במושגים של "פונקציות רציפות" ו"נקודות קרובות (באותה סביבה)". לשם כך, עלינו להגדיר על המרחב טופולוגיה.

הטופולוגיה שבדרך כלל מוגדרת על $\ \mathbb{R}^n$ היא הטופולוגיה המטרית המושרית מהמטריקה הבאה שאנו מגדירים על המרחב:

$\ d(\vec{v} , \vec{w}) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}{ ( v_i - w_i )^2 } }$

ניתן לראות שמטריקה זו היא בעצם ההכללה של משפט פיתגורס ולכן מהווה הכללה לפונקציית המרחק האוקלידית במישור.

את המטריקה הזאת ניתן להציג באמצעות המכפלה הסקלרית שהגדרנו קודם:

$d( \vec{v} , \vec{w} ) = \sqrt{ (\vec{v} - \vec{w}) \cdot ( \vec{v} - \vec{w}) }$

ובכך המרחב שהגדרנו הוא למעשה מרחב מכפלה פנימית המהווה גם מרחב נורמי. יתרה מכך, המרחב $\ \mathbb{R}^n$ מהווה מרחב הילברט (מממד סופי).

עבור מרחב וקטורי V נהוג בדרך כלל להסתכל על המרחב הדואלי שלו

$\ V^* = \{ f : V \to \mathbb{R} \ : \ f \mbox{ is linear } \}$

זהו מרחב הפונקציונלים הלינאריים על V, ויש לשים לב שגם מרחב זהו מרחב וקטורי, ומאותו ממד כמו של V. בהרבה יישומים של האנליזה הפונקציונלית מסתבר ש *V שימושי יותר מ-V. כמו כן, אפשר להגדיר באמצעותו טופולוגיה חלשה על V (פשוט קובעים שכל הפונקציונלים הלינאריים עליו נחשבים כרציפים). כאשר לא עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים, יש חשיבות גדולה להבחנות בין *V ל-V ולאינטראקציה בין השניים (למשל: נוח יותר לבצע אינטגרציה לפונקציונל מ-*V מאשר לוקטור מ-V) אך עבור מרחב מטרי שני המרחבים איזומטריים וניתן להתאים לכל וקטור ב-V פונקציונל ב-*V ולהפך (באופן חח"ע ועל) באמצעות המטריקה. במקרה של מרחב הילברט תכונה זו ידועה כמשפט ההצגה של ריס.

[עריכה] פונקציות ואופרטורים

האנליזה הווקטורית עוסקת, כאמור, בוקטורים שהרכיבים שלהם הם מספרים ממשיים או פונקציות. כדי לפשט את הסימונים והחישובים, מוסיפים למערכת את אופרטורי הגזירה $\ \partial_x, \partial_y, \partial_z$ , המסמנים את הנגזרת החלקית לפי המשתנים $\ x,y,z$ , בהתאמה.

כעת אפשר לבנות וקטורים מכמה סוגים: וקטורים קבועים (כמו $\ (2,3,-2)$ ), וקטורים של פונקציות (כמו $\ (x,x^2,6)$ או $\ (x+y,y-z,z^2)$ ) וגם וקטורים של אופרטורים, כמו $\ \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z)$ . אפשר לבצע פעולות (כמו כפל סקלרי או וקטורי) בין וקטורים מכל הסוגים, כל עוד מפרשים את התוצאות אל נכון.

באופן כללי יותר, אפשר לחשוב גם על הפונקציות הסקלריות כעל אופרטורים: הפונקציה $\ f(x,y,z)=x+y$ מתאימה לפעולה של כפל ב- $\ x+y$ . כעת אפשר להתייחס לסקלרים מכל הסוגים (פונקציות ואופרטורים דירפנציאליים) באותו אופן: לכפל (משמאל) בפונקציה יש הפירוש הרגיל של כפל, וכפל משמאל באופרטור יש לחשב על-פי כללי הגזירה. נעיר שבהכפלת סקלרים הסדר אינו חשוב, אבל כאשר מערבים אופרטורים דיפרנציאליים ופונקציות, הסדר חשוב. לדוגמה, הכפלת הפונקציה $\ f$ במשתנה $\ x$ ואחר-כך בנגזרת $\ \partial_x$ מחזירה $\ f+x\frac{df}{dx}$ , בעוד שהכפלה בסדר הפוך מחזירה $\ x\frac{df}{dx}$ : ההפרש שווה לפונקציה המקורית. אפשר לסכם אבחנה זו בזהות $\ \partial_x \cdot x - x \cdot \partial_x = 1$ .

היתרון בגישה זו הוא שהיא מאפשרת טיפול אחיד בפונקציות ובאופרטורים, כפי שנראה בהמשך.

[עריכה] שדות

[עריכה] שדה סקלרי

פונקציה $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ המתאימה לכל נקודה במרחב ערך סקלרי נקראת שדה סקלרי או בהשאלה מפיזיקה (ובייחוד אלקטרומגנטיות): פוטנציאל.

דוגמאות במרחב תלת ממדי:

טמפרטורת המים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאמת הטמפרטורה באותה נקודה (סקלר).
הפוטנציאל האלקטרוסטטי.
$\ f(x,y,z) = x^2 + 3yz^5 - 4ze^{(x-y)}$ .

[עריכה] שדה וקטורי

פונקציה $\vec{f}: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ המתאימה לכל נקודה במרחב וקטור (ליתר דיוק, וקטור מהמרחב המשיק באותה נקודה) נקראת שדה וקטורי.

דוגמאות במרחב תלת ממדי:

זרימת מים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאם וקטור שכיוונו ככיוון זרימת המים באותה נקודה וגודלו כמהירות הזרימה.
השדה החשמלי.
$\ \vec{f}(x,y,z) = \left( xy + 42 \ , \ 56 \sin(z) \ , \ e^{(y^2 - xz)} \right) = (xy + 42) \hat{x} \ + \ 56 \sin(z) \hat{y} \ + \ e^{(y^2 - xz)} \hat{z}$

השדות בדרך כלל אינם לינאריים, ואפילו לא בהכרח רציפים. למרות זאת, באנליזה וקטורית מתעניינים בעיקר בפונקציות חלקות (שיש להן נגזרות מסדר גבוה), או בעלות מספר סופי בלבד של נקודות סינגולריות.

[עריכה] נגזרות וקטוריות

פרק זה דן במרחב הווקטורי (הפיזיקלי) $\ \mathbb{R}^3$ , שיתואר בקואורדינטות קרטזיות, אלא אם כן מצוין במפורש אחרת.

[עריכה] מבוא

האופרטור הבסיסי במרחב זה הוא אופרטור הגזירה (נקרא גם דֶל), המוגדר לפי

$\vec{\nabla} \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y } + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \equiv \left( \ \partial_x \ , \ \partial_y \ , \ \partial_z \right).$

אפשר לקבל את האופרטורים הדיפרנציאליים היסודיים על-ידי פעולות הכפל השונות בהן משתתף אופרטור הגזירה:

הגרדיאנט של שדה סקלרי $\ f$ הוא שדה וקטורי $\ \vec{\nabla} f$ שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של השדה המקורית.
הדיברגנץ של שדה וקטורי $\ \vec{f}$ הוא שדה סקלרי $\ \vec{\nabla} \cdot \vec {f}$ המודד את קצב השינוי במאונך לצירים.
הרוטור (או curl) של שדה וקטורי תלת-ממדי $\ \vec{f}$ הוא שדה וקטורי $\ \vec{\nabla} \times \vec{f}$ המודד את כיוון השינוי של השדה המקורי.

המכפלה הסקלרית של $\ \nabla$ עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא לפלסיאן.

לעתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "נבלה", על שום דמיונו לנבל (בתחביר LaTex הוא מוצג על ידי הפקודה \nabla ). בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה. מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בוקטור.

[עריכה] גרדיאנט

המחשה של גרדיאנט. באיורים שלפנינו, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. שימו לב שהחצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

גרדיאנט (Gradient) הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה המקורית.

המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב. מאחר שמדובר במרחב תלת-ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה. הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי.

הגרדיאנט מוגדר באופן הבא:

$\!\, \mbox{grad} \ f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{z}$

באמצעות אופרטור הדל, אפשר פשוט לרשום ש

$\mbox{grad} \ f = \vec{\nabla} f$

כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית.

עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים כלפי הנקודות שבהן מתקבל המקסימום, ואילו גודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי. הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה.

דוגמה פיזיקלית: הפוטנציאל האקלטרוסטטי מסומן ב $\!\, \phi$ , מחוקי האלקטרוסטטיקה ידוע לנו ש $\!\, \vec{E} = - \vec{\nabla} \phi$ כאשר E הוא השדה החשמלי.

[עריכה] נגזרת כיוונית

נגזרת כיוונית (Directional Derivative) (או נגזרת מכוונת) של שדה סקלרי (פונקציה רבת משתנים) היא מספר המתאר כמה השתנתה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת השתנה בגודל אינפיניטסימלי בכיוון מסוים $\hat{n}$ .

כמו כל נגזרת, ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות גבול:

$D_{\hat{n}}{f(\vec{r})} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{r} + h\vec{n}) - f(\vec{r})}{h}}$

במידה והשדה או הפונקציה דיפרנציאבילים בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט , על ידי הנוסחה

$D_{\hat{n}}{f(\vec{r})} = \hat{n} \cdot \left( \vec{\nabla} f(\vec{r}) \right)$

כאשר ה $\cdot$ הוא סימון למכפלה סקלרית (לעתים נהוג לסמן את המכפלה הסקלרית בנקודת כפל יותר שמנה מהרגיל).

דוגמה: נניח $\!\, f(x,y,z) = x + y^2 + z^3$ .
אזי $grad \ f = \nabla f = \left( \ 1 \ , \ 2y \ , \ 3z^2 \ \right)$

ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קוביה, כלומר $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 , 1 , 1 \right)$ , היא

$\hat{n} \cdot \nabla f = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 , 1 , 1 \right) \cdot \left( 1 , 2y , 3z^2 \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 + 2y + 3z^2 \right)$

[עריכה] דיברגנץ

הדיברגנץ (Divergence) הוא מעין מדד לכמות השטף של שדה וקטורי שיוצא מנקודה כלשהי במרחב.

[עריכה] שטף

יהי $\ \vec{F} = F_x \hat{x} + F_y \hat{y} + F_z \hat{z}$ שדה וקטורי. אזי השטף של השדה F דרך שטח A מוגדר על ידי $\ \mbox{flux} = \iint_A{\vec{F}} \cdot \vec{dA}$ . אם השדה F קבוע אזי השטף שווה פשוט ל $\vec{F} \cdot \vec{A}$ כאשר $\vec{A}$ הוא וקטור שגודלו הוא גודל השטח A ובכיוונו הוא ניצב לשטח A (נורמל).

כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב.

אם מסתכלים על קוביה דימיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז. אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קוביה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקוביה מה כמות הברזים הכלואה בה. אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקוביה.

[עריכה] הגדרת הדיברגנץ

הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קוביה אינפינטסימלית בעלת נפח V, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל 0, כלומר:

$\mbox{div} F = \lim_{V \to 0}{\frac{1}{V} \iint{ \vec{F} \cdot \vec{dA}}}$

כאשר האינטגרל הוא על המשטח (הסגור) העוטף את הנפח V.

בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה:

$\mbox{div} \vec{F} = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

כלומר על ידי מכפלה סקלרית סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית.

[עריכה] רוטור (Curl)

הרוטור (או Curl), הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת.

הרוטור מוגדר כך:

$\ curl \ \vec{F} = \vec{\nabla}\times\vec{F} = \left( \frac{\partial F_Z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{y} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{z}$

אבל הרבה יותר קל פשוט לחשב את הרוטור באמצעות הדטרמיננטה של המטריצה הבאה:

$\begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}$

כלומר,

$\vec{\nabla}\times\vec{F} = \det \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}$

כאשר מפתחים לפי השורה הראשונה.

[עריכה] לפלסיאן

הלפלסיאן הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות:

$\ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

מכיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל).

[עריכה] לפלסיאן על פונקציה סקלרית

כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ

$\ \nabla^2 f= \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}f = div \cdot grad \ f$

בקואורדינטות כדוריות (ספריות),

$\ \nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית.

פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס בקבוצה פתוחה כלשהי נקראת פונקציה הרמונית על קבוצה זו.

[עריכה] אינטגרלים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

האינטגרל של שדה סקלרי או שדה וקטורי.

[עריכה] משפטי יסוד באנליזה וקטורית

זהויות של נגזרות וקטוריות
1. $\ \vec{\nabla} \times \vec{\nabla}f = 0$
2. $\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{F} ) = 0$
3. $\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla}f ) = (\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} )f = \nabla^2 f$
משפט הגרדיאנט

אינטגרל מסלולי מנקודה a לנקודה b של גרדיאנט של פונקציה סקלרית מקיים $\int_{C}{\vec{\nabla}f(\vec{r}) \cdot d\vec{l}} = f(\vec{b}) - f(\vec{a})$
משפט גאוס (משפט הדיברגנץ):

האינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי של דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:

$\ \oint_{\partial V}{\vec{F}\cdot d\vec{A}} = \int_{V}{\vec{\nabla} \cdot \vec{F} \ dV}$
משפט סטוקס (משפט הקרל)

האינטגרל המסלולי של פונקציה וקטורית על מסלול סגור שמהווה שפת משטח שווה לאינטגרל המשטחי של רוטור אותה פונקציה על המשטח.

$\ \oint_{\partial A}{\vec{F} \cdot d\vec{r}} = \int_{A}{( \vec{\nabla} \times \vec{F} ) \cdot d\vec{A}}$