Játékelmélet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A játékelmélet a matematika egyik, interdiszciplináris jellegű (tudományágak közé egyértelműen nehezen besorolható, leginkább talán a kombinatorika részeként tárgyalható) ága, mely azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy mi a racionális (ésszerű) viselkedés olyan helyzetekben, ahol minden résztvevő döntéseinek eredményét befolyásolja a többiek lehetséges választása, vagyis a játékelmélet a stratégiai problémák elmélete.

A játékelmélet alapjait Neumann János rakta le egy 1928-as munkájában, majd az Oskar Morgenstern neoklasszikus matematikus-közgazdásszal közösen írt „Játékelmélet és gazdasági viselkedés” című (The Theory of Games and Economic Behavior, 1944) művében. A matematika, a közgazdaságtan, a szociológia, a pszichológia, és a számítástechnika a játékelmélet által legérintettebb tudományok. A mesterséges-intelligencia kutatás is felhasználja eredményeit. 1994-ben Harsányi János magyar származású közgazdász, másokkal megosztva közgazdasági Nobel-díjat kapott játékelméleti kutatásaiért.

Tartalomjegyzék

1 Alapfogalmak
2 Megállapítások
3 Feldolgozott játékhelyzetek
- 3.1 Kétszemélyes, kétválasztásos szimmetrikus játékok
4 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Alapfogalmak

A Játék a játékosok lehetséges viselkedését és lényeges körülményeket meghatározó szabálysor által leírt folyamat.
Az információs halmaz (ismeret) meghatározó. Például a játék tökéletes információs, amennyiben a résztvevők birtokolják az összes vonatkozó adatot (szabályok, lehetséges választások, eddigi események), és a játék véges.
A stratégia a szabályokat alkalmazó, az ellenfél érzékelt hibáit felhasználó – győzelemre, de minimum döntetlenre segítő módszer.
Zéró összegű az a játék, amelyben a játékosok csak egymás kárára növelhetik nyereségüket.
Nem zéró összegű játszma az, mikor a két fél nemcsak egymástól, hanem egymással együttműködve valamilyen külső forrásból is nyerhet.
Egy játék lehet két-, vagy többszemélyes.
Kooperatív a játék akkor, ha a játékosok között kialakul az együttműködés.
Nem kooperatív játék esetén a játékosok versengenek egymással.
A Nash-egyensúly az összes játékos összes stratégiájának olyan együttesét jelenti, amelyben egyik játékosnak sem származik előnye abból, ha stratégiáján változtat, amíg a többi játékos azonos módon játszik tovább.

[szerkesztés] Megállapítások

Valamennyi kétszemélyes zéró összegű játékban létezik mindkét fél számára optimális stratégia, mégpedig az egyéni tiszta stratégiák tervezetten véletlen keveréke.

Ésszerű feltételezni, hogy minden játékos a lehető legnagyobb nyereség elérésére, és a veszteség kockázatának minimalizálására törekszik.

Minden véges játék legalább egy egyensúllyal rendelkezik. (Ezt az eredményt John Nash bizonyította be az 1950-es években.)

[szerkesztés] Feldolgozott játékhelyzetek

[szerkesztés] Kétszemélyes, kétválasztásos szimmetrikus játékok

A kétszemélyes, kétlépéses (mindkét játékosnak csupán két lépéslehetősége van) játékoknak 78 fajtája létezik. Célunk, hogy a játékosok döntéslehetőségeit elemezzük s megtaláljuk a lehetséges legoptimálisabb megoldást. Mivel mindkét játékos kétféleképpen dönthet, négy lehetséges kimenetele van a játékoknak, ezek mindegyike pedig a két játékos számára eltérő értékű. Ez tehát azt jelenti, hogy át kell tekinteni az összes olyan táblázatot, amelyben az 1, 2, 3, 4 számok különféle kombinációkban helyezkednek el az egyik, illetve a másik játékos számára leosztva. A 78, egymástól lényegesen különböző táblázat vizsgálatából kiderült, hogy közülük 12-ben a két játékos szimmetrikus helyzetben van. Ezek közül pedig négy tekinthető csapdahelyzetnek. Nem csapda típusú játékra példa:

(1. játékos – 1. stratégia, 2. játékos – 1. stratégia) = 4,4
(1. játékos – 1. stratégia, 2. játékos – 2. stratégia) = 3,2
(1. játékos – 2. stratégia, 2. játékos – 1. stratégia) = 2,3
(1. játékos – 2. stratégia, 2. játékos – 2. stratégia) = 1,1

Ebben a játékban nyilvánvaló, hogy mindkét játékosnak csakis az 1. stratégiát érdemes választania, a másikkal mindenképpen rosszabbul jár. Ezzel automatikusan, konfliktusmentesen el is érik a közös optimumot, csapdáról szó sincs. A kétszemélyes, kétválasztásos, szimmetrikus játékoknak négy csapdatípusa a Fogolydilemma, Nemek harca, Vezérürü és a Gyáva nyúl fantázianevű játékok. A játszmák nevüket azokról a (ma már klasszikusnak számitó) példákról kapták, amelyeken keresztül a legtalálóbban lehet őket bemutatni. Azoknak a kétszemélyes játszmáknak, ahol a játékosoknak már fejenként három választási lehetőségük van, sokkal több, közel kétmilliárd változata van. Ezek csapdahelyzeteit senki nem térképezte még fel, mivel nagyon valószínű, hogy megegyeznek a négy alapjátékéval. Az alapvető csapdamechanizmusokat ez a négy játék megmutatja – a tényleges, életbeli konfliktusok általában e négy alaptípus bonyolult, kusza kombinációiból épülnek fel.

[szerkesztés] Fogolydilemma

Fő szócikk: Fogolydilemma

Alaphelyzet: van két fogoly; ha az egyik vall, de a másik nem, akkor a vallomást tevő elmehet, míg a másik 10 évet kap; ha egyik sem vall, akkor 6-6 hónapot kapnak, ha mindketten, akkor 6-6 évet.
Ez nem zéró összegű játék.
A nehézség: a játék "megoldása", a domináns stratégiák melletti egyensúly az, hogy mindketten valljanak. Bármit is tesz a másik, a játékos jobban jár, ha vall. Mégis mindketten jobban járnának, ha egyikük sem vallana.
A fogolydilemma jelentőségét e paradox tulajdonsága adja, vagyis hogy az egyensúly paretói értelemben rossz eredményt idéz elő. E tulajdonsága miatt a "láthatatlan kéz" ellenpontjának tekinthető. Itt ugyanis az önérdek követése nem segíti elő a közérdeket.

[szerkesztés] Nemek harca

Fő szócikk: Nemek harca

Alaphelyzet: egy fiatal pár reggel összeveszik az esti programon: focimeccs vagy színház. Reggel nincs idő a megbeszélésre, este későn végeznek a munkájukkal, és ekkor kell dönteni ki hova menjen. A felek preferenciái: elsősorban együtt tölteni az estét, másodsorban az általa kedvelt helyen.
Ez nem zéró összegű játék.
A játéknak két egyensúlya van tiszta stratégiákkal (mindketten színházba mennek, illetve mindketten focimeccsre mennek). Létezik egy harmadik egyensúly is kevert stratégiákkal.

[szerkesztés] Vezérürü

Alaphelyzet: két szuperjólnevelt ember egymást tessékeli előre az ajtóban.
A nehézség: ha mindketten ragaszkodnak ahhoz, hogy a másik menjen előre, örökre az ajtó előtt ragadnak. Ha az egyikük enged, fennáll a veszélye, hogy emiatt a másik modortalannak tartja majd.

[szerkesztés] Gyáva nyúl (chicken run, csibefutam)

Alaphelyzet: Két kocsi száguld egymás felé, az veszít, aki hamarabb félrekapja a kormányt.
A nehézség: Ha egyikük sem kapja félre mindketten meghalnak, de egyik sem tudhatja, hogy a másik mennyit kockáztat még.

[szerkesztés] A közlegelő problémája

Fő szócikk: A közlegelők tragédiája

Alaphelyzet: a falu legelőjének nagy része kiszárad; a gazdák megbeszélik, hogy a maradékra mindenki csak 1 tehenet vihet be.
Ezt azonban senki sem tartja be, mert a gazdák egyenként profitálnak abból, ha eggyel több állatot hajtanak ki a legelőre, így a legelő elfogy és minden tehén elpusztul. Ez a klasszikus közjószág-probléma.

[szerkesztés] Szarvasvadászat

Fő szócikk: Szarvasvadászat

Két vadásznak azt kell eldöntenie, hogy szarvasra vagy nyúlra akar-e vadászni. A szarvast csak akkor tudják levadászni, ha kooperálnak, a döntést azonban egyedül kell meghozniuk, és a másik döntéséről nem tudnak.