Cuspide (poliedro)

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In un tetraedro, i 4 vertici hanno la stessa struttura locale (cuspide).

In geometria, la cuspide di un poliedro indica la struttura locale del poliedro vicino ad un vertice. Più in generale, è possibile definire una nozione di cuspide per un vertice di un qualsiasi politopo a dimensione arbitraria (e quindi anche per un poligono). In italiano è spesso usata anche la versione inglese star.

Indice

1 Valenze
- 1.1 Definizione
- 1.2 Proprietà
2 Base della cuspide
3 Esempi

[modifica] Valenze

Anche nell'icosidodecaedro ogni vertice ha la stessa struttura locale.

[modifica] Definizione

La valenza di un vertice di un poliedro è il numero di spigoli (o facce) adiacenti.

In un politopo di dimensione $n$ arbitraria, ogni vertice ha $n$ valenze $v_1,\ldots,v_n$ : qui $v i$ indica il numero di facce $i$ -dimensionali adiacenti al vertice.

[modifica] Proprietà

In una piramide a base quadrata invece c'è un vertice che ha valenza

4

, mentre gli altri quattro hanno valenza

3

Poiché vi è un unico politopo adiacente al vertice, l'ultimo valore è sempre $v n = 1$ .

In un poligono, le valenze sono sempre $(v 1, v 2) = (2,1)$ . In un poliedro, sono $(v 1, v 2, v 3) = (v, v,1)$ , dove $v$ è la valenza definita inizialmente.

A proposito di $v 1$ , affinché la dimensione sia $n$ , ci devono essere almento $n$ spigoli adiacenti a ciascun vertice, e quindi $v_1 \geq n$ .

[modifica] Base della cuspide

La struttura locale del poliedro vicino ad un vertice è codificata dall'intersezione del poliedro con una piccola sfera centrata nel vertice. Spigoli e facce del poliedro intersecano questa sfera in un poligono con spigoli curvi, con numero di vertici (o spigoli) pari alla valenza.

Tale intersezione, definita per i vertici di un politopo di dimensione arbitraria, è la base della cuspide, detta anche link.