Distribuzione (matematica)

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In analisi matematica, le distribuzioni (note anche come funzioni generalizzate) sono oggetti che generalizzano i concetti di funzione e di distribuzione di probabilità. Estendono il concetto di derivata a tutte le funzioni integrabili secondo Lebesgue (tra cui ci sono tutte le funzioni continue) e vengono usate per formulare soluzioni generalizzate delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Sono importanti in fisica e in ingegneria, in cui molti problemi non continui conducono naturalmente a equazioni differenziali le cui soluzioni sono distribuzioni.

Il fisico Paul Dirac le utilizzò alla fine degli anni 1920 per i suoi studi sulla meccanica quantistica, pur non avendone una definizione rigorosa. La definizione matematica delle "funzioni generalizzate" fu formulata da Sergei Sobolev nel 1935.

La più importante delle funzioni generalizzate, che non sia una funzione ordinaria, è la cosiddetta delta di Dirac.

Indice 1 Motivazione 2 Definizione 3 Esempi 4 Lo spazio D'(O) 5 Distribuzioni regolari 6 Convergenza e topologia debole 7 Derivata di una distribuzione 8 Voci correlate 9 Bibliografia

[modifica] Motivazione

Un'applicazione delle distribuzioni si ha nel calcolo delle probabilità, come illustrato dal seguente esempio. Supponiamo di voler studiare i tempi di attesa dei veicoli a un semaforo stradale. C'è una probabilità non nulla che un veicolo trovi il semaforo verde, e quindi non debba attendere. Chiamiamola P₀. Per ogni numero positivo di secondi t, c'è una probabilità che un veicolo debba attendere meno di t secondi. Tale funzione è crescente. Pertanto la distribuzione cumulativa di probabilità risultante avrà il seguente andamento: per t < 0, vale zero; per t = 0, vale P₀, compreso tra zero e uno; per t > 0, ha valori crescenti con continuità da P₀ a uno. Tale funzione è derivabile per t ≠ 0, ma ha una discontinuità intorno a zero. Pertanto, non si tratta né di una distribuzione di probabilità continua, né di una distribuzione di probabilità discreta, bensì di una mista. Con le funzioni ordinarie, l'unico modo di trattarla, è attenersi alla cumulativa. Grazie alle funzioni generalizzate, invece, qualunque cumulativa è derivabile, e quindi si può ottenere una funzione generalizzata di densità di probabilità.

Pertanto, l'uso delle funzioni generalizzate permette di descrivere con un solo formalismo sia le densità di probabilità discrete, che le densità di probabilità continue, nonché le densità di probabilità miste.

Un'altra motivazione per l'uso delle funzioni generalizzate si ha, in fisica e ingegneria, nello studio di fenomeni impulsivi. In un lampo di luce, si può voler tener conto dell'energia luminosa emessa, pur considerando nulla la durata del lampo, e quindi infinita la luminosità istantanea. Nell'urto di due palle da biliardo, si può voler tener conto della quantità di moto delle palle prima e dopo l'urto, pur considerando nulla la durata dell'urto, e quindi infinite le accelerazioni. Nello studio dell'elettromagnetismo e delle sue applicazioni tecniche, ci sono numerosi casi di fenomeni impulsivi, come la scarica elettrostatica e la commutazione di circuiti.

[modifica] Definizione

Intuitivamente, una distribuzione è una funzione reale di variabile reale, che in alcuni punti può avere picchi di altezza infinita, ma che sottendono un'integrale finito. Tali picchi sono le cosiddette delta di Dirac, opportunamente traslate e scalate. Tentiamo di derivare una funzione che contiene un salto. Intuitivamente, se il salto è verso l'alto, la derivata ha valore infinito positivo, mentre se è verso il basso ha valore infinito negativo. Tale picco dovrà avere come integrale proprio l'altezza del salto.

Per la definizione formale si fa uso di un insieme di funzioni ausiliarie, dette funzioni di test; è possibile fare diverse scelte per le funzioni test, corrispondenti a diversi spazi di distribuzioni, una delle scelte più usate sono le funzioni a supporto compatto che sono le funzioni reali di variabile reale infinitamente derivabili e con supporto in un insieme limitato. Se f: → è una funzione integrabile, e φ è una funzione di test, allora risulta che ∫fφdx è un numero reale che dipende da φ in modo lineare e continuo. Si può perciò pensare alla funzione f come a un funzionale lineare continuo dallo spazio che consiste di tutte le "funzioni di test" φ. Questa nozione di "funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni di test" viene perciò usata come definizione di una distribuzione.

Tali distribuzioni possono venire moltiplicate per numeri reali e possono essere sommate tra di loro, perciò formano uno spazio vettoriale sui reali. In generale non è possibile definire una moltiplicazione tra distribuzioni, ma le distribuzioni possono essere moltipicate per funzioni infinitamente derivabili.

Formalmente, detto D(O) lo spazio delle funzioni a supporto compatto definite su un aperto O di , definiamo lo spazio delle distribuzioni D'(O) come il duale di D(O), vale a dire come lo spazio dei funzionali lineari continui sullo spazio D(O). Analizziamo nel dettaglio la definizione:

1) Una distribuzione è un funzionale su D(O), vale a dire che ad ogni funzione test φ associa un numero reale che indicheremo con <T,φ>.

2) Una distribuzione T è un funzionale lineare, vale a dire che prese due arbitrarie funzioni test φ, ψ in D(O) e un arbitrario numero reale λ <T,λφ + ψ> = λ<T,λφ> + <T,ψ>.

3) Una distribuzione T è un funzionale continuo, cioè per ogni successione φ_n convergente a φ (nella topologia di D(O)) <T,φ_n> converge a <T,φ> nella topologia di .

Questa definizione si può estendere immediatamente al caso di numeri complessi, in questo caso le funzioni test potranno assumere valori complessi (pur rimanendo definite su una aperto di ) e costituiranno uno spazio vettoriale sul campo ; la nozione di linearità resta invariata, ammettendo semplicemente anche scalari complessi nelle combinazioni lineari.

Usando per la definizione un aperto O di , abbiamo di fatto definito le distribuzioni "di una variabile reale" (terminologia derivata dalle funzioni ordinarie); si può usare la stessa identica costruzione per definire le distribuzioni "di più variabili", semplicemente partento da un aperto O di .

Nota: negli spazi lineari finito dimensionali, la continuità di un funzionale è sempre conseguenza della linearità; questo non è più vero per spazi infinito dimensionali, come sono generalmente gli spazi di funzioni e in particolare D(O), dove esistono funzionali lineari e non continui; la richiesta di continuità è perciò necessaria nella definizione di distribuzione.

[modifica] Esempi

Una distribuzione è univocamente definita specificando la sua azione su una generica funzione test.

• La distribuzione δ (delta di Dirac) è definita da:

< δ,φ > : = φ(0)

cioè l'applicazione che, presa una funzione φ, restituisce il suo valore nello zero. La δ è ben definita sulle funzioni a supporto compatto, ma, in realtà, si può applicare anche a classi di funzioni molto più generali; infatti, per la definizione, è sufficiente che la funzione su cui viene applicata abbia un valore ben definito nello 0.

• Data una qualunque funzione localmente integrabile f, si può definire la distribuzione T_f che agisce nel modo seguente sulle funzioni a supporto compatto:

si può dimostrare che l'integrale a destra esiste sempre e ha valore finito, e che l'applicazione così definita è effettivamente lineare e continua.

[modifica] Lo spazio D'(O)

Allo spazio delle distribuzioni è possibile assegnare in modo naturale una struttura di spazio lineare, definendo nel modo seguente le combinazioni lineari di distribuzioni:

<λT + S,φ> = λ<T,φ> + < S,φ>

dove T e S sono distribuzioni e λ uno scalare (reale o complesso). Si noti che per definire una distribuzione è sufficiente definire la sua azione su un'arbitraria funzione test φ.

E' possibile anche definire il complesso coniugato di una distribuzione nel modo seguente: data T , T* è definita da

<T*,φ> = (<T,φ*>)*

Si possono così definire la parte reale e immaginaria di una distribuzione:

, che sono a loro volta distribuzioni.

Una distribuzione si dirà reale se T = ReT; la delta di Dirac, ad esempio, è una distribuzione reale.

[modifica] Distribuzioni regolari

Una distribuzione T si dice regolare se esiste una funzione f localmente integrabile tale che, per ogni funzione φ a supporto compatto, valga:

La distribuzione regolare si può allora indicare con T_f, ma più comunemente si usa identificare tale distribuzione con la corrispondente funzione; più generalmente, è in uso la convenzione di indicare come funzione T(x) anche una distribuzione T arbitraria, anche se non ha senso parlare del valore di una distribuzione in un punto x; seguendo questa convenzione, l'azione di una distribuzione su una funzione test si scriverà ∫T(x)φ(x)dx, anche se la nozione di integrale non è generalmente definita per le distribuzioni non regolari.

E' da notare che le definizioni date sopra sono coerenti con questa convenzione, vale in particolare λT_f = T_λf ; in alcuni testi di analisi funzionale, invece, si adottano convenzioni diverse per cui può valere, ad esempio, T_λf = λ*T_f, cadendo così la possibilità di identificare direttamente funzioni e distribuzioni. È bene prestare attenzione quali convenzioni si stanno adottando per evitare banali errori.

[modifica] Convergenza e topologia debole

Lo spazio delle distribuzioni può essere munito di una topologia in modo standard. La definizione più agevole consiste nello stabilire un criterio di convergenza: una successione di distribuzioni {T_n} converge a una distribuzione T in D'(O) se, per ogni funzione test φ , la successione numerica <T_n,φ> converge al valore <T,φ> nell'usuale topologia di (o ). Si tratta di una procedura molto generale che si può applicare al duale di un qualsiasi spazio, la topologia risultante è detta topologia debole e una successione convergente in questa topologia si dice convergente in senso debole.

La condizione di convergenza sopra introdotta è effettivamente molto debole, vale a dire che una successione di funzioni {f_n} non convergente in senso ordinario (convergenza puntuale o uniforme), può invece convergere nella topologia debole, nel senso che la corrispondente successione di distribuzioni regolari {T_fn} può convergere nello spazio D'(O) a una distribuzione T.

Un tipico esempio di questo fenomeno si ha per le approssimanti della delta, ovvero succesioni regolari convergenti alla delta di Dirac, come la successione che, pur non avendo limite in alcun punto (a parte lo 0) in senso ordinario, converge alla delta in senso debole.

[modifica] Derivata di una distribuzione

Sulle distribuzioni è possibile definire un concetto di derivata che generalizza di molto quello ordinario e che costituisce uno dei motivi fondanti della teoria.

Data una qualsiasi distribuzione T di variabile reale, si definisce la sua derivata come la distribuzione T' che agisce nel modo seguente sulle funzioni test:

< T',φ > : = − < T,φ' >

dove φ' è la derivata della funzione test φ.

È immediato verificare che la definizione è ben posta (φ' esiste perché, per definizione, le funzioni test sono derivabili) e che il funzionale così definito è effettivamente lineare e continuo.

Il segno - nella definizione garantisce la consistenza con la derivazione ordinaria per le distribuzioni regolari; infatti, se f è una funzione derivabile, applicando l'integrazione per parti troviamo ∫f'(x)φ(x)dx = - ∫f(x)φ'(x)dx (i termini di bordo si cancellano perché φ è a supporto compatto). Abbiamo così che T'_f = T_{f '}. Alcuni testi non fanno uso di questa convenzione e definiscono la derivata di una distribuzione senza il segno meno, in tal caso derivata ordinaria e distribuzionale differiscono per un segno.

La definizione si può naturalmente estendere a distribuzioni di più variabili, definendo le derivate parziali sempre usando come modello l'integrazione per parti di funzioni ordinarie.

Si può notare che la definizione di derivata di una distribuzione, a differenza di quanto avviene per le funzioni ordinarie, dove le funzioni derivabili sono una classe relativamente ristretta, è applicabile a qualunque distribuzione senza eccezioni. In particolare, si possono derivare tutte le distribuzioni regolari corrispondenti a funzioni non derivabili; in questo modo, funzioni che non hanno derivata in senso ordinario, hanno una distribuzione (generalmente non regolare) come derivata generalizzata.

Un esempio è dato dalla funzione di Heaviside (detta anche funzione gradino)

che, essendo discontinua, non è derivabile nello 0. Tuttavia, applicando la definizione di derivata di una distribuzione, troviamo:

( perché φ è a supporto compatto) da cui deduciamo che la derivata della funzione gradino è la delta di Dirac.

[modifica] Voci correlate

• Distribuzione temperata

[modifica] Bibliografia

V. S. Vladimirov - Le distribuzioni nella fisica matematica, Edizioni Mir, 1981

I.M. Gelfand e G.E. Shilov, Generalized Functions Vol. 1, Academic Press, 1964