Formula prodotto di Eulero

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La Formula prodotto di Eulero o più semplicemente il Prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1741.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

dove $ζ(s)$ è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'Ipotesi di Riemann.

Indice

1 Dimostrazioni
- 1.1 Prima Dimostrazione
- 1.2 Seconda Dimostrazione
2 Infiniti numeri primi
3 Generalizzazione
- 3.1 Esempi
4 Bibliografia
5 Voci correlate

[modifica] Dimostrazioni

[modifica] Prima Dimostrazione

Partiamo dalla funzione zeta:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$

se moltiplichiamo entrambi i termini per $\frac{1}{2^s}$ abbiamo che:

$\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$

Sottraendo la prima espressione alla seconda

$\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$

Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto

$\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \cdots$

Sottrando l'ultimo al penultimo termine abbiamo che

$\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots$

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

$\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \cdots$

Stiamo lentamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Invece se ripetiamo moltissime volte il procedimento che abbiamo visto i numeri dopo l'uno saranno sempre meno. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

$\cdots\left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1$

E in conclusione:

$\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^s}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^s}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^s}\right)} \cdots = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

Q.E.D

[modifica] Seconda Dimostrazione

si può considerare il termine

$\frac{1}{1-p^{-s}}$

Come il numero a cui converge la serie geometrica

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(p^s)^n} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} +\frac{1}{p^{4s}}+ \cdots = \frac{1}{1-p^{-s}}$

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

$\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \frac{1}{2^{3s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \frac{1}{3^{3s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{5^{2s}} + \frac{1}{5^{3s}} + \cdots\right) \cdots$

E svolgendolo

$\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \left(1 + \frac{1}{(1\cdot2)^s} + \frac{1}{(1\cdot3)^s} + \frac{1}{(1\cdot5)^s} + \cdots \right ) + \left( \frac{1}{(1\cdot{2^2})^s} + \frac{1}{(1\cdot{3^2})^s} + \frac{1}{(1\cdot{5^2})^s} + \cdots \right ) + \cdots$

$+ \left( \frac{1}{(2\cdot3)^s} + \frac{1}{(2\cdot5)^s} + \frac{1}{(2\cdot7)^s} + \cdots \right ) + \left( \frac{1}{({2^2}\cdot{3^2})^s} + \frac{1}{({2^2}\cdot{5^2})^s} + \frac{1}{({2^2}\cdot{7^2})^s} + \cdots \right ) + \cdots$

$+ \left( \frac{1}{(3\cdot5)^s} + \frac{1}{(3\cdot7)^s} + \frac{1}{(3\cdot11)^s} + \cdots \right ) + \left( + \frac{1}{({3^2}\cdot{5^2})^s} + \frac{1}{({3^2}\cdot{7^2})^s} + \frac{1}{({3^2}\cdot{11^2})^s} + \cdots \right ) + \cdots$

E' chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste cobinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riodinare i termini così:

$\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$

Quindi:

$\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

Q.E.D

[modifica] Infiniti numeri primi

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}$

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

[modifica] Generalizzazione

Tramite le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

$\sum_{n} \frac{a(n)}{n^s} \ =\prod_{p} P(p,s)\$

Dove P(p,s) è la serie:

$1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .$

[modifica] Esempi

Moltissime funzioni posso essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopraillustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius $μ(n)$ :

$\sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s}=\prod_{p} (1-p^{-s})= \frac{1}{\zeta(s) }$ .