קבוצה פתוחה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, קבוצה פתוחה היא תת-קבוצה, של קבוצה רחבה יותר, שכל אחד מאיבריה "מוקף" על ידי איברים השייכים גם הם לתת-הקבוצה, במובן הזה שאין אף אחד מאיבריה המצוי על הגבול שבינה לבין המשלים לה. זוהי משמעות אינטואיטיבית של המושג, אך משמעותו האמיתית תלויה בהקשר המדויק בו משתמשים. דוגמה לקבוצה פתוחה היא הקטע (0,1) שעל הישר הממשי.

באנליזה מתמטית, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה־n ממדי, קבוצה U היא פתוחה אם לכל נקודה x השייכת לה קיים r>0 כך שכל הנקודות במרחב שמרחקן מ־x הוא לכל היותר r שייכות גם כן ל־U.

כאשר עוסקים במרחבים מטריים ניתן להכליל את ההגדרה כך: קבוצה U היא פתוחה אם לכל $x\isin U$ קיים כדור פתוח B שמרכזו x כך ש־ $B\left(x,r\right)\subseteq U$ .

ניתן גם להגדיר קבוצה פתוחה בעזרת שימוש במושג הפנים: קבוצה פתוחה היא קבוצה ששווה לפנים שלה.

במרחב טופולוגי כללי לא קיים יותר מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות פתוחות באמצעותו. תחת זאת בוחרים לקחת את הקבוצה הפתוחה בתור המושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב - עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה, שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות פתוחות במובן המטרי). בכך מהווה השימוש בקבוצות פתוחות בטופולוגיה הכללה של השימוש בקבוצות הפתוחות במרחבים מטריים.

טופולוגיה קבוצתית