Matrice di trasformazione

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, per matrice di trasformazione o matrice associata ad una trasformazione si intende una matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali. Per definire una matrice di trasformazione è necessario scegliere una base per ciascuno degli spazi.

[modifica] Definizione

Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K di dimensione finita, e T: V → W una trasformazione lineare. Siano infine

$B_V = (v_1, \ldots, v_n), \quad B_W = (w_1, \ldots, w_m)$

due basi rispettivamente per V e W. Definiamo matrice associata a T la matrice m x n che ha nella i-esima colonna le coordinate del vettore T(v_i) rispetto alla base B_W.

[modifica] Proprietà

Indichiamo con [T] la matrice associata a T, e con [v] e [w] le coordinate dei vettori v in V e w in W, rispettivamente alle basi B_V e B_W. Abbiamo la seguente relazione fondamentale:

[T (v)] = [T][v]

dove il prodotto [T][v] tra la matrice [T] ed il vettore [v] è l'usuale prodotto di una matrice per un vettore colonna. La relazione permette di tradurre trasformazioni lineari in matrici e vettori in vettori numerici di Kⁿ. Fattore essenziale di questa traduzione è la scelta di basi: scelte diverse portano a matrici e vettori diversi.

I fatti seguenti mostrano l'utilità della traduzione delle trasformazioni lineari in matrici:

Siano T:V → W e U:W → Z due applicazioni lineari, e B_V, B_W, B_Z siano basi per V, W, Z. Indichiamo con [T], [U] e [U o T] le matrici associate alle applicazioni T, U, U o T rispetto a queste basi. Abbiamo:

$[U \circ T] = [U] \circ [T]$

Sia T:V → W un endomorfismo di V e B una base per V. Sia quindi [T] la matrice associata a T rispetto a B.
- T è un isomorfismo se e solo se [T] è invertibile;
- T è l'identità se e solo se [T] è la matrice identica;
- T è la funzione costantemente nulla se e solo se [T] è la matrice nulla;
La mappa Hom(V, W) → M(m, n) che associa ad una trasformazione lineare T la sua matrice associata [T] è un isomorfismo di spazi vettoriali.

Le rappresentazioni di vettori e trasformazioni mediante vettori colonna e matrici consentono di effettuare sistematicamente molte operazioni su queste entità mediante operazioni numeriche che, tra l'altro, possono essere demandate abbastanza facilmente al computer. In particolare, per quanto appena visto, si possono effettuare agevolmente le composizioni di trasformazioni mediante prodotti delle corrispondenti matrici.

[modifica] Esempi

Nel piano cartesiano, indicando con (x, y) un punto generico, la trasformazione lineare T(x, y) = (x, y) viene rappresentata rispetto ad una qualsiasi base dalla matrice identità di ordine 2. Una tale trasformazione è conosciuta anche come funzione identità.
Nel piano cartesiano, sia T la riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Le matrici associate a T usando rispettivamente la base canonica e la base B = ((1, 1), (1, -1)) sono::

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

La funzione T: R₂[x] → R₂[x] dallo spazio dei polinomi di grado al più due in sé, che associa ad un polinomio p la sua derivata T(p) = p' è lineare. La matrice associata rispetto alla base B = (1, x, x²) è: