Primo teorema di incompletezza di Gödel
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Sia P una formalizzazione dell'aritmetica di Peano.
Con il teorema di completezza di Gödel si è dimostrato che tale teoria risulta completa per i soli assiomi logici, ossia per ogni formula "R", esiste una formula ad essa corrispondente "r" tale che:
- se R(x) sussiste -> P |- r(x)
- se R(x) non sussiste -> P|- - r(x);
Il Primo Teorema di incompletezza di Gödel dice che:
Se P è coerente, allora è possibile esibire una formula G di Lp, tale che né G né -G risulta dimostrabile, ed inoltre G risulta vera.
L'idea di fondo della dimostrazione può essere così riassunta:
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«Supponiamo esista una proposizione G la cui interpretazione standard sia "G non è dimostrabile in P". Se P :- G, cioè se G fosse dimostrabile in P, G risulterebbe falsa. Ma per il teorema di completezza di Gödel, ogni proposizione dimostrabile in P risulta vera, dunque G non può essere dimostrabile in P e quindi è vera. Quindi -G risulta falsa e, per lo stesso motivo , non può essere dimostrabile in P. Pertanto se esiste una proposizione il cui contenuto è "io non sono dimostrabile in P", tale proposizione risulterà vera ma non dimostrabile.»
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Merito di Gödel fu dunque l'aver esibito tale proposizione e la vera potenza di tale teorema è che vale "per ogni teoria affine", cioè per qualsiasi teoria formalizzata, forte quanto l'aritmetica elementare. In particolare Gödel dimostrò che l'aritmetica stessa risulta incompleta: vi sono dunque delle realtà vere ma non dimostrabili.
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