Regolatore lineare quadratico

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Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici, è un compensatore ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo $J(x,u) \,$ funzione dello stato $x(t) \,$ e del controllo $u(t) \,$ . $\min J= \min \int_{t_0}^{T}(x(t)'Qx(t)+u(t)'Ru(t))dt\,$

Indice

1 Teorema: esistenza soluzione
2 Teorema: esistenza soluzione stabilizzante
3 Teorema: robustezza intrinseca
4 Voci correlate
5 Bibliografia

[modifica] Teorema: esistenza soluzione

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione $u_{opt}(t) \,$ del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo $J(x,u) \,$

[modifica] Teorema: esistenza soluzione stabilizzante

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.

Il controllo ottenuto $u_{opt}(t) \,$ è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

Tempo finito

controllo

controllore in retroazione dallo stato

DRE la cui soluzione fornisce P(t)

Tempo infinito

controllo

controllore in retroazione dallo stato

ARE la cui soluzione fornisce P

Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito ( $T \,$ →∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce $J(x,u) \,$ . L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice $K_{opt} \,$ costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

[modifica] Teorema: robustezza intrinseca

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per se per una gamma di variazioni parametriche ∂ $P_0 \,$ relative al processo nominale $P_0 \,$ con upperbound costante in frequenza e pari a $l_m=0.5 \,$ .

Controllo automatico

In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita $U_0 \,$ prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993.
Marro G., Controlli automatici - 5a edizione, Zanichelli, 2004
K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

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