Rotazione (matematica)

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Una sfera che ruota intorno ad un asse.

In matematica, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto (l'origine dello spazio). I punti che restano fissi nella trasformazione formano un sottospazio: quando questo insieme è un punto (l'origine) o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Indice

1 Due dimensioni
- 1.1 Nel piano complesso
2 Tre dimensioni
3 Dimensione arbitraria
4 Voci correlate

[modifica] Due dimensioni

Rotazione antioraria nel piano

Per approfondire, vedi la voce isometria del piano.

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione $R (θ)$ , che dipende da un angolo $θ$ , e che trasforma il vettore (x, y) in

$x'=x\cos\theta-y\sin\theta,\,$

$y'=x\sin\theta+y\cos\theta.\,$

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione può essere descritta così:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale di rango due. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo $θ$ intorno all'origine.

La matrice 2 × 2 che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo $θ$ .

[modifica] Nel piano complesso

Per approfondire, vedi la voce rotazione nel piano complesso.

Una rotazione di angolo $θ$ si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso. In questo modo la rotazione con centro nell'origine si scrive come

$\begin{matrix}\rho:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=e^{i\vartheta}z\end{matrix}$

[modifica] Tre dimensioni

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta r passante per l'origine, e da un angolo $θ$ di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo $θ$ effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale $v 1, v 2, v 3$ , dove $v 1$ è il vettore di lunghezza uno contenuto in r e avente direzione giusta. Allora la rotazione trasforma il vettore di coordinate $(x, y, z)$ in:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.$

Senza cambiare base, la rotazione di angolo $θ$ intorno ad un asse determinata dal vettore $(x, y, z)$ è descritta dalla matrice seguente:

$\begin{bmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x \\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{bmatrix}$

[modifica] Dimensione arbitraria

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici n per n che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.