Base ortonormale

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base ortogonale e la base ortonormale sono due concetti che generalizzano la nozione di sistema di riferimento nel piano cartesiano, definito da 2 assi perpendicolari. Tramite queste nozioni è possibile infatti definire degli "assi perpendicolari" e quindi un "sistema di riferimento" che assegna ad ogni punto delle "coordinate" su uno spazio vettoriale con un numero arbitrario di dimensioni.

Indice

1 Definizione
- 1.1 Base ortogonale
- 1.2 Base ortonormale
2 Esempi
3 Proprietà
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

[modifica] Base ortogonale

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare. Una base ortogonale per $V$ è una base composta da vettori a due a due ortogonali. Due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è uguale a zero.

[modifica] Base ortonormale

Se il prodotto scalare è definito positivo, è possibile introdurre la nozione di base ortonormale: questa è una base ortogonale in cui ogni vettore ha norma uno.

Questa nozione, si generalizza ad uno spazio di Hilbert $V$ (che può essere reale o complesso, e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettori indipendenti, ortogonali e di norma 1, che generano un sottospazio denso in $V$ . Una tale base è spesso detta base hilbertiana.

[modifica] Esempi

L'insieme {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} costituisce una base ortonormale di R³
L'insieme {f_n : n ∈ Z} con f_n(x) = exp(2πinx) costituisce una base ortonormale dello spazio complesso L²([0,1]). Ciò è di fondamentale importanza nello studio delle Serie di Fourier.
L'insieme {e_b : b ∈ B} con e_b(c) = 1 se b=c e 0 altrimenti costituisce una base ortonormale di l²(B).

[modifica] Proprietà

Ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, possiede basi ortogonali grazie al teorema di Sylvester.
Ogni spazio euclideo possiede basi ortonormali, grazie all'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Una matrice di cambiamento di base fra basi ortonormali è una matrice ortogonale.
Se B è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert V, ogni elemento v di V si scrive in modo unico come

$v=\sum_{b\in B}\langle v,b\rangle b$

e la norma di v è data da

$\|v\|^2=\sum_{b\in B}|\langle v,b\rangle |^2.$

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da

$\langle x,y \rangle = \sum_{b\in B} \langle x,b \rangle \langle b,y \rangle b.$

Queste espressioni hanno senso anche se B è non numerabile: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le serie di Fourier sono un esempio.